核心结论：外卖员送餐中自己把手摔断，赔偿问题需根据外卖员与平台或商家之间的法律关系（劳动关系或劳务关系）来确定，具体赔偿方式和责任主体会有所不同。

详细分析：

1. 若外卖员与平台或商家构成劳动关系：

   • 工伤认定：根据《工伤保险条例》，外卖员在送餐过程中因工作原因受到事故伤害，应认定为工伤。
   • 赔偿流程：外卖员或其近亲属应在事故伤害发生之日起1年内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。认定工伤后，可享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、住院伙食补助费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
   • 责任主体：若平台或商家已为外卖员缴纳工伤保险，则由工伤保险基金支付相关费用；若未缴纳，则由平台或商家承担赔偿责任。

2. 若外卖员与平台或商家构成劳务关系：

   • 赔偿依据：根据《民法典》中关于提供劳务者受害责任的规定，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。
   • 责任划分：外卖员在送餐过程中自己把手摔断，若因自身疏忽或过错导致，则可能需自行承担部分或全部责任；若因平台或商家提供的工具、设备存在安全隐患或未尽到安全保障义务导致，则平台或商家需承担相应责任。
   • 赔偿内容：包括医疗费、误工费、护理费、交通费等合理费用，具体赔偿金额需根据双方过错程度、实际损失等因素确定。

建议行动：

• 外卖员应首先确认自己与平台或商家之间的法律关系，并收集相关证据（如工作证、工资单、送餐记录、事故现场照片等）。
• 若构成劳动关系，应及时申请工伤认定，并享受工伤保险待遇；若构成劳务关系，可与平台或商家协商赔偿事宜，协商不成可向法院提起诉讼。
• 在整个过程中，外卖员可寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。

特别提醒：不同地区的法律法规和政策可能有所不同，具体赔偿标准和流程需以当地规定为准。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。