结论前置：事业单位不签劳动合同、不交养老保险而按灵活就业企业补缴的做法不合法，具体分析如下：

1. 不签劳动合同的违法性

根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。事业单位作为用人单位，与劳动者建立劳动关系后，必须在1个月内签订书面合同。若未签订，劳动者可主张双倍工资（最长11个月），且用人单位可能面临劳动行政部门责令改正的处罚。

例外情形：若劳动者属于非全日制用工（每日工作不超过4小时、每周累计不超过24小时），可口头约定，但事业单位通常不符合此类情形。

2. 不交养老保险的违法性

根据《社会保险法》第五十八条、第六十条，用人单位必须自用工之日起30日内为职工办理社保登记并缴纳社保（含养老保险）。事业单位作为公法人，更应严格遵守。若未缴纳，劳动者可要求补缴，且社保部门可对单位处以欠缴数额1-3倍的罚款。

灵活就业补缴的合法性存疑：

• 灵活就业人员参保需以个人身份缴纳，与单位缴费比例、基数不同（单位需承担统筹部分）。
• 若事业单位将劳动者“包装”为灵活就业人员，实质是逃避单位缴费义务，属于虚假申报，可能面临社保稽查和行政处罚。

3. 事业单位的特殊规定

事业单位工作人员通常适用《事业单位人事管理条例》，其社保缴纳可能涉及机关事业单位养老保险制度（如“职业年金”）。若单位未按规定缴纳，劳动者可向人社部门投诉或申请劳动仲裁，要求补缴社保并赔偿损失。

4. 风险提示

• 劳动者权益：未签合同、未缴社保期间，劳动者可能无法享受工伤、医疗等保障，且离职时难以主张经济补偿。
• 单位风险：除补缴社保外，单位可能需支付滞纳金、罚款，甚至被列入社保失信名单。

建议：若您遇到此类情况，可收集工资条、工作证等证据，向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁，要求单位补签合同、补缴社保。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。