父亲去世后，母亲和子女签订的家庭协议，在满足一定条件时是有效的。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、协议有效的基本条件
主体适格：
- 参与签订协议的母亲和子女必须具有完全民事行为能力，即能够独立进行民事活动，理解并承担协议的法律后果。若存在无民事行为能力人或限制民事行为能力人，其签订的协议可能无效，除非有法定代理人代理。
意思表示真实：
- 协议内容必须是母亲和子女真实意愿的表达，不存在欺诈、胁迫、重大误解等情形。任何通过不正当手段迫使他人签订的协议均不具有法律效力。
内容合法：
- 协议内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，也不得损害国家利益、社会公共利益以及他人合法权益。例如，协议不能违反关于遗产分配、赡养义务等法律规定。
形式合规：
- 虽然法律并未明确规定家庭协议必须采用书面形式，但为了确保协议的合法性和有效性，建议采用书面形式，并由所有参与签订的母亲和子女签字确认，注明签订日期。
二、协议可能无效的情形
协议内容违法：
- 如果协议内容违反了法律、行政法规的强制性规定，或者违背了公序良俗，那么该协议可能无效。例如，协议中约定剥夺某一方继承权且无正当理由，或者分配明显不合理损害某一方利益。
意思表示不真实：
- 如果母亲或子女在签订协议时受到欺诈、胁迫等不正当手段的影响，导致意思表示不真实，那么受损害方有权请求法院或仲裁机构确认协议无效或撤销。
主体不适格：
- 如果参与签订协议的母亲或子女不具备完全民事行为能力，且没有法定代理人代理，那么该协议可能无效。
三、特殊情况的处理
遗嘱的存在：
- 如果父亲生前立有遗嘱对家庭财产进行了明确处分，那么母亲和子女签订的家庭协议内容必须与遗嘱相一致。否则，抵触部分将无效。遗嘱作为父亲生前的真实意愿表达，具有优先效力。
其他合法继承人的权益：
- 如果家庭协议中涉及对父亲遗产的分配，且存在其他法定继承人（如父亲的父母、兄弟姐妹等）未参与协议签订，那么协议可能因处分了他人的继承份额而部分或全部无效。在签订协议前，应确保所有合法继承人都已参与并同意协议内容。
四、法律建议
咨询专业意见：
- 在签订家庭协议前，建议咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供针对性的法律指导，帮助母亲和子女们规避潜在的法律风险，并确保协议的条款符合法律法规的要求。
谨慎签订协议：
- 母亲和子女们在签订协议时应保持谨慎和理性，确保自己的真实意愿得到充分表达。同时，应妥善处理好与其他继承人的关系，避免引发不必要的纠纷。
办理相关手续：
- 如果协议中涉及对父亲遗产的分配，且需要办理过户等手续，那么应按照相关规定及时办理。这有助于确保协议的最终履行和权益的保障。
总结来看，父亲去世后母亲和子女签订的家庭协议在满足一定条件时是有效的。但为了确保协议的合法性和有效性，建议咨询专业律师的意见，并谨慎签订协议。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。