父亲在特定条件下有权利起诉要求变更孩子的抚养权。具体来说，虽然离婚时孩子被判给了母亲，但如果父亲希望改变这一抚养安排，他必须满足一些特定的条件。以下是一些可能的情况，在这些情况下，父亲有权提出变更抚养权的请求：

1. 母亲无法承担抚养责任：如果母亲因严重的身体疾病、残疾或其他原因无法承担起对孩子的抚养责任，父亲可以提出变更抚养权的申请。在这种情况下，父亲需要提供医疗证明或其他相关证据来支持他的请求。

2. 母亲未尽抚养义务或存在虐待行为：如果母亲没有尽到应有的抚养义务，甚至有虐待孩子的恶劣行径，这些都将严重损害孩子的身心健康。在这种情况下，父亲同样有权提出变更抚养权的请求，并需要提供相关证据，如警方记录、医疗报告或证人证言等。

3. 孩子年满八岁且愿意跟随父亲生活：根据相关法律规定，如果孩子已经年满八岁，并且表示愿意跟随父亲生活，同时父亲也具备抚养孩子的经济和物质基础，那么父亲就有权提出变更抚养权的请求。在这种情况下，法院会考虑孩子的意愿和父亲的能力来做出决定。

法律建议与后果：

• 提供充分证据：父亲在提出变更抚养权的请求时，必须提供足够的证据来证明上述情况确实存在。否则，法院通常不会支持他的诉讼请求。

• 法院以孩子最大利益为首要考虑：在做出判决时，法院会以保护孩子的最大利益为首要考虑因素，并进行全面的评估和权衡。这意味着，即使父亲满足了上述条件之一，法院也可能因为其他因素（如孩子的情感需求、生活稳定性等）而拒绝变更抚养权。

• 可能面临的法律后果：如果父亲在没有充分证据或合法理由的情况下提起诉讼，可能会面临诉讼费用、时间成本以及可能的法律责任（如诬告等）。因此，在提起诉讼之前，父亲应该仔细考虑并咨询专业律师的意见。

总结与进一步思考：

要想成功地变更抚养权，父亲需要有充分且合法的理由作为支撑，并提供足够的证据来支持他的请求。同时，法院在做出判决时会以保护孩子的最大利益为首要考虑因素。因此，在决定是否提起诉讼之前，父亲应该仔细评估自己的情况和证据，并考虑咨询专业律师的意见。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。