乡镇卫生院护士编不能随意开除。具体分析如下：

1. 编制身份的稳定性
   乡镇卫生院护士若属于事业编制，其劳动关系受《事业单位人事管理条例》规范。根据该条例，事业单位与工作人员解除聘用合同需符合法定情形（如连续旷工超15日、年度考核不合格且不同意调岗、被依法追究刑事责任等），且需经教育、警告、处分等程序，不可随意单方解除。

2. 非编制人员的劳动合同保护
   若护士无编制但与卫生院签订劳动合同，则适用《劳动合同法》。根据该法，用人单位解除劳动合同需满足法定条件（如严重违反规章制度、不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任、客观情况重大变化等），且需提前30日书面通知或支付代通知金。随意开除可能构成违法解除，需支付赔偿金（2倍经济补偿）。

3. 特殊情形的例外
   若护士存在严重失职（如医疗事故致重大损害）、同时与其他单位建立劳动关系且拒不改正、以欺诈手段订立合同等情形，卫生院可依法解除合同，但需举证证明。“随意”开除仍属违法。

建议：若遭遇不合理开除，可先与单位协商，协商不成可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张继续履行合同或赔偿。具体操作需结合合同类型、证据情况等，如有疑问可直接向我咨询。