核心前提：家属因肇事者造成的事故而情绪激动，进而将肇事者打伤。
针对此问题，核心结论及分情况说明如下：
可能构成故意伤害罪：
- 如果家属在打伤肇事者的过程中，具有故意伤害他人身体的意图，并且造成了肇事者轻伤以上的后果，那么家属的行为可能构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
可能面临民事赔偿责任：
- 无论家属的行为是否构成犯罪，他们都需要对肇事者因被打伤而产生的医疗费用、误工费、护理费等经济损失承担民事赔偿责任。这是基于《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，即行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
可能受到行政处罚：
- 如果家属的行为尚未达到构成犯罪的程度，但违反了治安管理处罚法的相关规定，如殴打他人或者故意伤害他人身体，那么他们可能会受到行政处罚，如罚款、拘留等。
特殊情况下的正当防卫或紧急避险：
- 需要注意的是，如果家属在打伤肇事者的过程中，是为了制止肇事者正在进行的侵害行为，且手段适当、没有超过必要限度，那么他们的行为可能构成正当防卫或紧急避险，从而不承担刑事责任或减轻责任。但这种情况需要具体分析，且通常较为罕见。
综上所述，家属把肇事者打伤的行为可能构成故意伤害罪，需要承担民事赔偿责任，并可能受到行政处罚。具体情况需要根据家属的行为动机、手段、后果以及相关法律法规进行综合判断。如果您或您的家属面临此类问题，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。