在我国，逮捕公民的批准决定涉及公安机关、人民检察院和人民法院三个机关，具体由哪个机关批准及执行取决于案件的具体情况和所处的诉讼阶段。以下是详细解释：

1. 公安机关提请逮捕：

   • 公安机关在侦查案件过程中，若认为犯罪嫌疑人需要逮捕，会写出提请批准逮捕书，并连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院进行审查批准。
   • 人民检察院对公安机关提请的案件进行审查后，会根据情况作出批准或不批准逮捕的决定。若符合逮捕条件（如证据确实、充分，可能判处徒刑以上刑罚等），则批准逮捕；若不符合，则不批准逮捕。

2. 检察院自侦案件的逮捕决定：

   • 对于人民检察院直接受理的案件，在侦查过程中若认为需要逮捕犯罪嫌疑人，则由检察院自行决定逮捕，无需再提请其他机关批准。
   • 检察院决定逮捕后，由公安机关负责执行。

3. 法院审判阶段的逮捕决定：

   • 在案件审理过程中，若人民法院认为被告人有必要逮捕，也有权决定逮捕。
   • 法院决定逮捕时，需由法院院长签发《决定逮捕通知书》，并通知公安机关执行。若为公诉案件，还需同时通知人民检察院。

综上所述，逮捕公民的批准决定是一个严谨而复杂的法律程序，涉及多个机关和多个诉讼阶段。在实际操作中，应根据案件的具体情况和法律规定来确定由哪个机关批准及执行逮捕。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。