当然可以告单位。如果你在工作中受伤，且半月后发现手指筋断了，你有权根据相关法律法规向单位主张工伤赔偿。以下是对此问题的详细分析：
工伤认定：
- 根据《工伤保险条例》，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。如果你的手指筋断是在工作中造成的，那么这很可能被认定为工伤。
- 工伤认定通常需要由用人单位在事故发生后的一定时间内（如30日内）向当地社会保险行政部门提出。如果用人单位未按规定时间提出工伤认定申请，你或者你的近亲属、工会组织也可以在事故伤害发生之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
医疗期与停工留薪：
- 一旦被认定为工伤，你将享受医疗期内的相关待遇，包括医疗费用报销、停工留薪等。
- 停工留薪期一般不超过12个月，具体期限根据伤情和医疗机构出具的证明确定。
工伤赔偿：
- 如果你的手指筋断被认定为工伤，且影响了你的劳动能力，你有权获得工伤赔偿。
- 工伤赔偿包括医疗费用、康复费用、一次性伤残补助金、伤残津贴、生活护理费、一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金等。
- 具体赔偿项目和标准根据你的伤残等级和当地的相关规定确定。
法律途径：
- 如果用人单位拒绝承认工伤或拒绝支付工伤赔偿，你可以通过劳动争议仲裁、诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
- 在此过程中，你可能需要收集相关证据，如医疗记录、工伤认定决定书、劳动合同等，以证明你的工伤事实和赔偿请求。
综上所述，如果你在工作中受伤导致手指筋断，且这被认定为工伤，你有权向单位主张工伤赔偿。如果遇到困难或疑问，建议直接向我咨询，我会为你提供更具体的法律建议和指导。