针对“行政处罚决定书逾期申请执行怎么办”这一问题，以下是为您提供的详细解答：
一、明确情况与后果
当行政处罚决定书逾期未履行时，当事人将面临一系列法律后果。行政机关有权采取多种强制措施，如加处罚款、滞纳金，拍卖或处理查封、扣押的财物，甚至申请人民法院强制执行。因此，建议当事人务必重视行政处罚决定书的履行，避免不必要的法律纠纷和损失。
二、行政机关的应对措施
催告履行：
- 行政机关在采取任何强制执行措施前，会先向当事人送达催告通知书，明确告知其履行义务的期限、方式及逾期不履行的后果。
加处罚款或滞纳金：
- 根据《行政处罚法》规定，当事人到期不缴纳罚款的，行政机关可以每日按罚款数额的3%加处罚款，但加处罚款的总额不得超过原罚款数额。对于带有滞纳金性质的行政处罚，也需按规定计算滞纳金。
申请法院强制执行：
- 若经催告后当事人仍不履行义务，行政机关可以在法定期限内向有管辖权的人民法院申请强制执行。申请时需提交完整的申请材料，包括行政处罚决定书、催告书等。
三、当事人的应对策略
确认行政处罚的合法性：
- 当事人应仔细审查行政处罚决定书，确认其是否合法。如认为行政处罚存在违法情形（如处罚依据错误、程序违法等），可以在法定期限内通过申请行政复议或提起行政诉讼来维护自身权益。
与行政机关协商：
- 如果确实存在履行困难，建议当事人主动与行政机关沟通，说明逾期未履行的原因，并尝试协商制定可行的履行计划。在协商过程中，可以争取减免加处罚款或滞纳金等优惠措施。
积极履行义务：
- 在确认行政处罚合法且无法协商减免的情况下，当事人应积极履行处罚义务，以避免更严重的法律后果。
四、特殊情况处理
行政复议或行政诉讼期间：
- 如当事人已提出行政复议或行政诉讼，行政机关在复议或诉讼结果出来前，通常会中止执行。但当事人仍需关注复议或诉讼的进展，并准备相应的证据材料。
当事人下落不明或无法联系：
- 对于此类情况，行政机关会采取公告送达等方式确保当事人知晓并执行处罚决定。如公告期满后当事人仍未履行，行政机关将依法向法院申请强制执行。
五、总结与建议
行政处罚决定书具有法律效力，当事人应严格按照决定来履行。如遇实际困难无法按时履行，应及时与行政机关沟通协商，并寻求法律途径解决争议。同时，行政机关也应依法依规采取强制措施，确保行政处罚的有效执行。通过双方的共同努力，可以维护法律的权威性和公正性。