员工第四次签合同，可以选择签订无固定期限的劳动合同。具体分析如下：

根据《劳动合同法》第十四条的规定，无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。在以下几种情况下，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：

1. 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
2. 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
3. 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。

因此，当员工第四次签订劳动合同时，如果满足上述第三种情况，即已连续订立二次固定期限劳动合同，并且没有其他不符合续订的情形，那么员工有权要求签订无固定期限的劳动合同。用人单位也应依法履行相应义务，与员工签订无固定期限的劳动合同。

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