首先，需要明确的是，公司不签订劳动合同与你是否可以请假是两个相对独立的问题。下面我将分别进行解答。
关于公司不签订劳动合同：
根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。如果公司未与你签订劳动合同，这违反了法律规定，你可以依法向公司主张相应的权益，比如要求公司支付双倍工资等。
关于你是否可以请假：
请假权利：无论公司是否与你签订了劳动合同，作为劳动者，你都有请假的权利。请假是劳动者因个人原因需要暂时离开工作岗位的行为，与是否签订劳动合同无直接关系。
请假程序：虽然你有请假的权利，但具体请假是否获得批准，还需要根据公司内部的请假制度和流程来决定。通常，你需要向公司提交请假申请，并经过相关部门的审批。
法律保障：即使公司未与你签订劳动合同，你在请假期间也依法享有相应的权益。如果公司因你请假而扣发你的工资或进行其他不合理的处理，你可以依法向公司主张权益。
综上所述，公司不签订劳动合同并不影响你请假的权利。但请注意，在请假前，你最好了解并遵守公司内部的请假制度和流程，以避免不必要的纠纷。同时，对于公司未签订劳动合同的问题，建议你及时与公司沟通协商，或者依法向劳动监察部门投诉举报，以维护自己的合法权益。