针对你提出的问题“卖了一个多月被老鼠咬过的食品，烧烤店老板该不该负刑事责任”，以下是我的详细解答：

结论前置：烧烤店老板销售被老鼠咬过的食品，如果造成严重后果或具有严重情节，可能构成犯罪，需要承担刑事责任。但具体是否构成犯罪以及构成何种犯罪，需要根据实际情况进行判断。

分析说明：

1. 食品安全的重要性：

   • 食品安全直接关系到消费者的生命健康，是法律严格保护的对象。
   • 销售被污染或不符合安全标准的食品，可能触犯法律。

2. 可能涉及的罪名：

   • 生产、销售不符合安全标准的食品罪：如果烧烤店老板明知或应知食品被老鼠咬过，仍然销售给消费者，且该食品不符合食品安全标准，可能构成此罪。
   • 生产、销售有毒、有害食品罪：如果老鼠咬过的食品中含有有毒、有害物质，或者因此导致食品变质、产生有毒物质，烧烤店老板销售这样的食品，可能构成此罪。

3. 构成犯罪的条件：

   • 主观上，烧烤店老板需要有明知或应知的故意，即知道或应当知道食品被老鼠咬过仍然销售。
   • 客观上，需要有销售被老鼠咬过的食品的行为，并且该行为造成了严重后果或具有严重情节，如导致消费者食物中毒、死亡等。

4. 不构成犯罪的情况：

   • 如果烧烤店老板能够证明其不知情，且采取了合理的检查措施仍未能发现食品被老鼠咬过，那么可能不构成犯罪。
   • 如果销售行为没有造成严重后果或情节不严重，也可能不构成犯罪，但可能面临行政处罚。

5. 法律建议：

   • 烧烤店老板应严格遵守食品安全法律法规，确保销售的食品符合安全标准。
   • 如果发现食品被污染或不符合安全标准，应立即停止销售，并采取补救措施。
   • 如果面临法律责任问题，应及时咨询专业律师，以便准确了解自己的法律义务和责任。

综上所述，烧烤店老板销售被老鼠咬过的食品，如果造成严重后果或具有严重情节，可能构成犯罪并需要承担刑事责任。但具体是否构成犯罪以及构成何种犯罪，需要根据实际情况进行判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。