当公司和员工签订的两年劳动协议到期后，处理方式主要取决于双方的意愿和实际情况。以下是一些详细的建议和流程指导：

一、协议到期后的自动终止

首先，要明确的是，当劳动协议所规定的期限届满后，如果双方没有就后续合作等事宜进行协商并达成新的协议，那么原来签订的劳动协议就会自动终止，不再对双方具有法律约束力。

二、事实劳动关系的形成

如果员工在协议到期后，仍然在原来的岗位上正常工作，并且公司对此没有提出任何异议，那么根据劳动法的规定，这种情况将被视为双方之间形成了新的事实劳动关系。在这种情况下，双方应当继续履行各自相应的权利和义务，员工需要按要求完成工作，而公司也需保障员工的合法权益。

三、公司决定不再续签协议

如果公司决定不再与员工续签协议，那么应当提前通知员工，并且按照相关法律规定向员工支付经济补偿。具体补偿标准通常是根据员工在本单位实际工作的年限来计算，每满一年就支付一个月工资给员工作为经济补偿。如果公司未提前通知员工或未支付经济补偿，那么将可能面临法律风险。

四、员工主动离职

如果员工自身不想继续在该单位工作，那么在协议到期后，员工可以直接离职，无需提前通知公司。但需要注意的是，这种情况下员工可能无法获得相应的经济补偿，除非双方在协议中有其他约定或公司存在违法行为导致员工离职。

五、争议解决方式

如果双方在协议到期后产生争议，例如关于经济补偿、事实劳动关系的认定等，首先建议通过协商的方式解决。如果协商无果，员工可以向当地的劳动争议调解委员会申请调解；如果调解仍然无法解决问题，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

综上所述，当公司和员工签订的劳动协议到期后，双方应根据实际情况和意愿进行协商和处理。无论结果如何，都应遵守相关法律法规和劳动法的规定，确保双方的合法权益得到保障。