刑拘37天后检察院不批捕不起诉，公安进行治安拘留十天是合法的，这属于“行刑反向衔接”的情况。具体分析如下：

一. 不起诉并不意味着不处罚

根据《中华人民共和国刑法》第三十七条，对于犯罪情节轻微不需要判处刑罚的，可以免予刑事处罚，但是可以根据案件的不同情况，予以训诫或者责令具结悔过、赔礼道歉、赔偿损失，或者由主管部门予以行政处罚或者行政处分。这意味着，即使检察院决定不起诉，被不起诉人仍可能因其违法行为受到行政处罚。

二. 行刑反向衔接机制

1. 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十七条第三款，对被不起诉人需要给予行政处罚、行政处分或者需要没收其违法所得的，人民检察院应当提出检察意见，移送有关主管机关处理。有关主管机关应当将处理结果及时通知人民检察院。
2. 在本案中，虽然检察院决定不起诉，但经审查认为被不起诉人应当受到行政处罚，因此向主管机关（即公安机关）提出了检察意见，由公安机关依法进行行政处罚。

三. 治安拘留的合法性

1. 治安拘留是行政处罚的一种形式，适用于违反治安管理法规的行为。
2. 在本案中，被不起诉人的违法行为已经检察机关认定，虽然其因情节轻微不需要判处刑罚，但其行为仍满足《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，符合行政处罚的条件。
3. 因此，公安机关根据检察院的检察意见，对被不起诉人执行行政拘留十日的行政处罚是合法的。

综上所述，刑拘37天后检察院不批捕不起诉后，公安进行治安拘留十天是基于“行刑反向衔接”机制，并依据相关法律法规进行的合法行政处罚。如有进一步需要，您可以继续咨询我。