结论：检察院作出相对不起诉决定后，公安机关给予行政拘留10天是否严重，需结合具体情形判断。若该行为同时违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》等行政法规，行政拘留是公安机关依法作出的行政处罚，其严重性取决于具体违法情节及社会危害程度；若不存在违反行政法规的情形，则行政拘留缺乏法律依据，可能涉及程序违法。以下从不同角度详细分析：

一、不起诉决定与行政拘留的法律关系

1. 不起诉决定的法律效力
   根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十八条，检察院作出不起诉决定后，刑事案件程序终结，被不起诉人不再受刑事追究。若被不起诉人在押，应当立即释放。这一决定仅针对刑事责任，不涉及行政责任。

2. 行政拘留的法律依据
   行政拘留是公安机关依据《中华人民共和国治安管理处罚法》对违反治安管理行为人作出的处罚，属于行政责任范畴。若被不起诉人的行为同时违反治安管理规定（如打架斗殴、盗窃等），公安机关可依法给予行政拘留，与不起诉决定互不影响。

二、行政拘留10天的严重性分析

1. 从违法情节角度看

   • 情节较轻：若违法行为情节轻微、社会危害性小（如初次轻微殴打他人未造成伤害），行政拘留10天可能被视为较重的处罚，但仍在法律规定的幅度内（《治安管理处罚法》第四十三条规定，殴打他人的处5-10日拘留）。
     
   • 情节较重：若违法行为情节恶劣、社会危害性大（如多次盗窃、结伙斗殴），行政拘留10天可能属于从轻处罚，后续可能面临更严厉的行政处罚或刑事追责（如符合犯罪构成要件时）。

2. 从法律程序角度看

   • 程序合法性：若公安机关在作出行政拘留决定前，依法履行了调查取证、告知权利、听取陈述申辩等程序，且处罚决定符合《治安管理处罚法》的规定，则行政拘留10天是合法的。
     
   • 程序违法性：若公安机关在不起诉决定后，无正当理由对被不起诉人实施行政拘留（如无违法事实、证据不足），则可能涉及程序违法，被不起诉人可依法申请行政复议或提起行政诉讼。

三、特殊情形下的行政拘留

1. 存疑不起诉后的行政拘留
   若检察院因证据不足作出存疑不起诉决定，公安机关在后续调查中发现新证据足以证明犯罪事实的，可依法重新启动刑事程序，但此时行政拘留已执行完毕的，不影响刑事追责；若未发现新证据，则行政拘留可能缺乏事实依据。

2. 酌定不起诉后的行政拘留
   若检察院因情节轻微等酌定情形作出不起诉决定，但被不起诉人的行为同时违反治安管理规定（如醉酒驾驶未达刑事标准），公安机关仍可依法给予行政拘留等处罚。

四、法律建议

1. 核实行政拘留的合法性
   被行政拘留人可要求公安机关出具《行政处罚决定书》，核实处罚依据、事实及程序是否合法。若认为处罚不当，可在收到决定书之日起60日内申请行政复议，或在6个月内提起行政诉讼。

2. 关注后续法律风险
   若行政拘留涉及的行为可能构成犯罪（如多次盗窃、故意伤害致人轻伤），需警惕公安机关在补充证据后重新启动刑事程序的风险。

3. 咨询专业律师
   行政拘留的严重性需结合具体案情判断，建议直接向我咨询，提供详细案情（如违法行为类型、证据情况等），以便更精准地分析法律风险及应对策略。

总结：行政拘留10天的严重性取决于违法情节、社会危害程度及程序合法性。若行为同时违反治安管理规定，行政拘留是公安机关依法作出的处罚；若不存在违法事实或程序违法，则可能涉及权益侵害。建议被行政拘留人及时核实处罚合法性，并咨询专业律师以维护自身权益。