关于“在母公司和子公司各签订一次合同后，第三次必须签订无固定期限合同吗”的问题，我可以给出以下分析：
结论：第三次签订合同是否必须为无固定期限合同，取决于具体的法律条件和劳动者的选择。
分析：
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有该法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
关键条件：
- 连续订立二次固定期限合同：这是签订无固定期限合同的前提条件。
- 劳动者无违规违纪等法定解除情形：劳动者必须没有严重违反用人单位规章制度或不能胜任工作等法定解除合同的情形。
- 劳动者选择：在满足上述条件的情况下，如果劳动者主动提出订立固定期限合同，用人单位可以与劳动者签订固定期限合同。
特殊情况：
- 如果劳动者在母公司和子公司各签订了一次合同，但这两次合同并不构成“连续订立二次固定期限劳动合同”的法律条件（比如因为母公司和子公司是不同的法律实体），那么第三次签订合同就不一定必须为无固定期限合同。
- 如果劳动者在签订第三次合同时，存在违规违纪等法定解除情形，用人单位也有权拒绝签订无固定期限合同。
建议：
- 劳动者在签订第三次合同时，应了解自己的权益和法律规定，如果符合条件，可以依法要求签订无固定期限合同以保障职业稳定性。
- 用人单位也应遵守法律规定，在符合条件的情况下与劳动者签订无固定期限合同，避免不必要的法律纠纷。
综上所述，第三次签订合同是否必须为无固定期限合同，需要综合考虑具体的法律条件和劳动者的选择。如果母公司和子公司被视为不同的法律实体，或者劳动者存在违规违纪等法定解除情形，那么第三次签订合同就不一定必须为无固定期限合同。