在这个问题中，我们首先要明确的是，给私人承揽干活并摔倒的情况，涉及的是个人劳务关系中的责任认定问题。接下来，我将从法律角度对此进行详细分析。
结论前置：在给私人承揽干活的过程中，如果承包人摔倒受伤，责任的承担需要根据双方的具体过错来确定。如果接受劳务方未提供必要的安全防护措施，或者存在其他过错，那么需要承担相应的责任；同时，如果提供劳务方自身存在疏忽大意等未按要求操作的情况，也需要自行承担一定责任。
法律分析：
个人劳务关系的认定：
- 根据《民法典》的相关规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。接受劳务一方承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方追偿。
- 同样，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。
责任划分的具体考量：
- 接受劳务方的责任：如果接受劳务方未提供必要的安全防护措施，或者对工作环境的安全管理存在疏忽，导致承包人摔倒受伤，那么接受劳务方需要承担相应的赔偿责任。
- 提供劳务方的责任：如果承包人自身在操作过程中存在疏忽大意、未按要求操作等过错，导致摔倒受伤，那么其也需要自行承担一定责任。
第三方责任的可能性：
- 如果承包人的摔倒是由于第三方的过错导致的，那么承包人可以要求第三方承担赔偿责任。同时，承包人也可以要求接受劳务方进行补偿，接受劳务方在补偿后可以向第三方进行追偿。
总结与建议：
- 在给私人承揽干活的过程中，双方应该明确各自的权利和义务，特别是关于安全保障方面的约定。
- 如果发生摔倒等意外事故，双方应该根据各自的过错来承担相应的责任。
- 如果无法就责任承担达成一致，建议通过法律途径来解决争议，以维护双方的合法权益。
希望以上分析能够对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的咨询，请随时向我提问。