当企业关停并不续签员工的劳动合同时，赔偿员工的方式主要依据劳动合同法的规定以及员工在企业的工作年限、合同类型等因素来确定。以下是对不同情况下赔偿方式的详细解答：
一、企业不续签劳动合同的赔偿
一般情形下的经济补偿：
- 若企业在劳动合同期满后决定不再与员工续签，且员工在企业连续工作不满10年，企业应按照员工在本单位工作的年限，以每满1年支付1个月工资的标准向员工支付经济补偿。
- 对于工作年限6个月以上不满1年的，按1年计算；不满6个月的，则向员工支付半个月工资的经济补偿。
特殊情形下的赔偿金：
- 若员工在企业连续工作满10年，或连续订立二次固定期限劳动合同等法定情形下，员工提出或同意续订、订立劳动合同的，企业应订立无固定期限劳动合同。此时若企业不续签，则属于违法终止劳动合同，需按照经济补偿标准的2倍向员工支付赔偿金。
二、公司关闭时的员工赔偿
经济补偿：
- 公司关闭时，需按法律规定向员工支付经济补偿，补偿标准同样按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年算，不满六个月支付半个月工资。这里的月工资指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
代通知金：
- 若公司未提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后解除劳动合同，则需支付代通知金。
其他补偿：
- 包括未休年假补偿，单位应按照员工日工资收入的300%支付应休未休的年休假工资报酬。
- 确保公司足额补缴员工在职期间的社会保险及公积金。
三、注意事项与建议
- 保留证据：员工在遇到企业不续签或公司关闭的情况时，应妥善保留相关证据，如劳动合同、工资单、不续签通知等，以便后续维权。
- 协商与仲裁：员工可与企业就经济补偿等问题进行协商，若协商不成，可向劳动争议仲裁机构申请仲裁，通过合法途径维护自身权益。
- 了解法律规定：员工应熟悉劳动合同法的相关规定，以便在面临此类问题时能够准确判断自身权益，并做出合理应对。
综上所述，企业关停不续签员工的赔偿方式需根据具体情况来确定，员工应充分了解自身权益，并依法维护。