当幼儿园教师合同到期，而幼儿园不出具解除劳动合同关系时，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：

一、明确合同到期后的法律关系

根据《劳动合同法》的规定，劳动合同到期即行终止，双方的劳动关系自然解除，无需幼儿园特别批准辞职。因此，当合同到期后，您有权选择离职，并且幼儿园的拒绝行为可能构成违约。

二、与幼儿园友好协商

尽管法律上您有权离职，但为了避免不必要的纠纷，建议您首先尝试与幼儿园进行友好协商。您可以明确告知幼儿园合同已到期，双方劳动关系已依法终止，并要求幼儿园办理相关离职手续，如开具离职证明、结算工资等。

三、保留书面通知及送达凭证

如果协商无果，您可以向幼儿园发送书面通知，明确告知其合同已到期且您将离职，并保留好通知的送达凭证。这一步骤是为了确保您有充分的证据来证明您已经按照法律规定履行了告知义务。

四、向劳动监察部门投诉

若幼儿园仍然阻拦您离职或拒绝办理离职手续，您可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权责令幼儿园改正其违法行为，并督促其依法履行协助离职的义务。

五、申请劳动仲裁

如果劳动监察部门的处理未能满足您的需求，您还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要准备好劳动合同、工作交接记录、沟通记录等相关证据，以支持您的诉求。仲裁委员会将根据事实和法律作出裁决，要求幼儿园依法办理离职手续，并可能因幼儿园的拖延行为而赔偿您的损失。

六、注意保留证据

在整个过程中，您需要注意保留好与幼儿园的沟通记录、工作凭证、劳动合同等相关证据。这些证据将有助于您在必要时证明自己的权益，并确保您能够依法维护自己的合法权益。

综上所述，当幼儿园教师合同到期而幼儿园不出具解除劳动合同关系时，您可以通过友好协商、保留书面通知及送达凭证、向劳动监察部门投诉以及申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。在处理过程中，请务必注意保留好相关证据，以确保您的权益得到充分保障。