首先，我可以很明确地告诉你，即使你父亲没有与亲戚签订正式的劳动合同，他也有权要求支付应得的工资。接下来，我会详细解释这个结论，并给出一些建议来帮助你父亲追回那笔工资。

法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即便没有签订书面劳动合同，只要实际上提供了劳动，就形成了事实劳动关系。因此，你父亲虽然没有签约合同，但他帮亲戚开车的事实就足以证明他提供了劳动，有权要求支付工资。

解决方案

1. 协商解决：

   • 首先，建议尝试与亲戚进行友好协商，明确表达你父亲的要求，并尽可能收集证据（如聊天记录、证人证言等）来证明你父亲确实提供了劳动且未获得报酬。
   • 如果亲戚愿意支付，那么问题就得到了解决。如果亲戚拒绝支付，那么可以考虑采取进一步的法律措施。

2. 向劳动监察部门投诉：

   • 如果协商无果，可以向当地的劳动监察部门投诉，要求他们介入调查并处理此事。
   • 劳动监察部门有权对用人单位进行监督检查，并可以责令用人单位支付拖欠的工资。

3. 提起劳动仲裁或诉讼：

   • 如果劳动监察部门的处理结果仍不满意，或者亲戚拒绝配合劳动监察部门的调查，那么可以考虑提起劳动仲裁或诉讼来维护你父亲的合法权益。
   • 在提起劳动仲裁或诉讼之前，建议咨询专业律师（比如我）来详细了解相关程序和要求，并准备充分的证据来支持你的主张。

注意事项

• 在整个过程中，保留好所有与亲戚沟通的记录、证人证言以及其他可能证明你父亲提供劳动且未获得报酬的证据。
• 注意时效性，及时采取行动来维护自己的合法权益。一般来说，劳动仲裁的时效期为一年，从知道或者应当知道自己的权利被侵害之日起计算。

综上所述，你父亲完全有权要求支付应得的工资。如果亲戚拒绝支付，可以通过协商、投诉、劳动仲裁或诉讼等方式来维护自己的合法权益。如果你在这个过程中有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。