公安出具不应追查刑事案与检察机关出具不起诉决定书的主要区别在于两者的性质、作出机关、法律依据以及后续影响等方面。

1. 性质不同：

   • 公安出具的不应追查刑事案，通常是在初步调查后，认为案件不符合立案条件或者没有犯罪事实，因此决定不予立案追查。这更多是在侦查阶段的一个决定。
   • 检察机关出具的不起诉决定书，则是在案件已经进入到审查起诉阶段，检察机关在全面审查案件事实和证据后，认为犯罪嫌疑人依法不应追究刑事责任或者证据不足无法追究刑事责任，从而作出的不起诉决定。

2. 作出机关不同：

   • 不应追查刑事案的决定由公安机关作出。
   • 不起诉决定书由检察机关（通常是人民检察院）作出。

3. 法律依据不同：

   • 公安出具不应追查刑事案的决定，主要依据的是《刑事诉讼法》中关于立案条件的规定，即认为没有犯罪事实或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案。
   • 检察机关出具不起诉决定书，则是依据《刑事诉讼法》中关于不起诉条件的规定，包括犯罪嫌疑人没有犯罪事实、犯罪情节显著轻微不需要追究刑事责任、证据不足无法认定有罪等情形。

4. 后续影响不同：

   • 公安出具不应追查刑事案的决定后，案件通常不会进入审查起诉阶段，也就意味着犯罪嫌疑人不会面临检察机关的起诉。
   • 检察机关出具不起诉决定书后，案件即告终结，犯罪嫌疑人不会被提起公诉，也不会面临法院的审判。同时，这也会影响到犯罪嫌疑人的名誉、社会评价以及可能的民事赔偿等后续问题。

综上所述，公安出具不应追查刑事案与检察机关出具不起诉决定书在性质、作出机关、法律依据以及后续影响等方面都存在明显的区别。如果你或者你身边的人面临类似的情况，建议尽快咨询专业律师，以便更好地了解自己的权益和后续可能面临的法律程序。