对于“孩子在亲戚家不肯回家，在亲戚的调教下，能否起诉亲戚”这个问题，我们首先要明确几个关键点：孩子的意愿、亲戚的行为性质以及法律对此类情况的规定。
结论前置：一般情况下，仅凭孩子在亲戚家不肯回家，并不能直接起诉亲戚。除非有确凿证据证明亲戚的行为构成了对孩子的虐待、遗弃或其他违法行为，否则起诉亲戚可能缺乏足够的法律依据。
分析说明：
孩子的意愿：
- 孩子作为未成年人，其意愿可能受到多种因素的影响，包括与亲戚的相处情况、家庭环境等。
- 孩子不愿回家，并不一定意味着亲戚对其有不当行为，可能只是孩子暂时的情绪或心理反应。
亲戚的行为性质：
- 亲戚的“调教”行为需要具体分析。如果是正常的教育、引导，且未对孩子造成身心伤害，那么这种行为是合法的。
- 如果亲戚的“调教”行为涉及虐待、遗弃、限制人身自由等违法行为，那么这种行为是违法的，且可能构成犯罪。
法律对此类情况的规定：
- 根据我国法律，保护未成年人的合法权益是社会的共同责任。
- 如果亲戚的行为确实对孩子造成了伤害，且触犯了法律，那么孩子的法定代理人（如父母）有权向相关部门举报，甚至提起诉讼。
- 但如果亲戚的行为并未触犯法律，只是普通的家庭纠纷或教育问题，那么通过法律途径解决可能并不合适。
建议：
- 首先，建议与孩子进行深入沟通，了解其不愿回家的真正原因，并尝试解决这些问题。
- 如果确实认为亲戚的行为对孩子造成了不良影响或伤害，可以先与亲戚进行协商，看是否能够达成共识并解决问题。
- 如果协商无果，且亲戚的行为确实触犯了法律，那么可以寻求法律援助，通过法律途径来维护孩子的合法权益。
综上所述，能否起诉亲戚取决于具体情况。如果亲戚的行为并未触犯法律，那么起诉可能缺乏足够的法律依据。因此，在处理此类问题时，应谨慎考虑，并寻求专业的法律建议。