不可以，任命生效日期通常不会早于任命通知发布的日期。以下是对此问题的详细分析：

在常规的行政管理或法律实践中，任命的生效日期是指该任命正式产生法律效力的日期，而任命通知的发布日期则是这一任命信息被公开或传达给相关人员的日期。从逻辑上讲，一个任命在未被正式通知或公布之前，其效力是无法被确认或执行的，因此任命生效日期不会早于任命通知的发布日期。

此外，从法律角度考虑，任命通常伴随着一系列的法律程序，如审批、公示等，这些程序都需要时间来完成。在这些程序全部完成并正式发布任命通知后，任命才会生效。因此，从法律程序的角度来看，任命生效日期也不可能早于任命通知的发布日期。

综上所述，任命生效日期通常不会早于任命通知发布的日期，这是符合行政管理常规和法律程序的。如果你对此类问题有进一步的疑问或需要更详细的法律解释，请直接向我咨询。