在遗产继承案中，第一被告可以申请法院查第二被告的银行存款，但这需要满足一定的条件和程序。

首先，原告（在这里是第一被告）需要提供初步证据证明被告（第二被告）所拥有的银行账户信息与当前面临的遗产分配纠纷具有直接关联性。这是因为，法院在调查取证时，必须确保调查的内容与案件有直接的相关性，以保护各方当事人的合法权益，并维护正常的司法秩序。

其次，法院将根据其权限及相关流程对这些证据进行详细审阅。如果法院经审查后确认确实存在调查的必要，那么它有可能依照法定程序向相关银行机构发送协助调查的正式通知。值得注意的是，整个调查过程必须严格遵守各项法定程序以及基本原则，以确保调查的合法性和公正性。

最后，原告方提出调查请求的时间也必须符合法律规定的举证期限。如果原告方超过法定期限未能提交请求，那么其调查请求可能会因此而无法得到批准。

因此，虽然第一被告在遗产继承案中有权申请法院调查第二被告的银行存款，但这一权利并不是无限制的。它必须满足一定的条件，并遵循法定的程序。如果你在这方面有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。