工程未经验收擅自使用且存在质量问题时，监理单位应立即向建设单位报告，并督促其采取相应措施整改，同时保留相关证据以备后续可能的法律责任追究。具体分析如下：
一. 监理单位的责任与义务
- 及时报告：根据监理职责，监理单位在工程未经验收擅自使用且发现质量问题时，应立即向建设单位报告。这是监理单位的法定责任，也是保护自身权益的重要步骤。
- 督促整改：监理单位应督促建设单位采取相应措施对工程质量问题进行整改，包括但不限于修复、加固或重建等，以确保工程符合质量标准和安全要求。
- 保留证据：监理单位应保留与工程质量问题相关的所有证据，如照片、视频、检测报告等。这些证据在后续可能的法律责任追究中将起到关键作用。
二. 法律依据
- 《中华人民共和国民法典》第七百九十九条：明确规定建设工程竣工后，发包人应根据施工图纸及说明书、国家颁发的施工验收规范和质量检验标准及时进行验收。未经验收或者验收不合格的，不得交付使用。这一条款强调了验收的重要性和未经验收使用的法律后果。
- 监理职责的延伸：虽然《民法典》第七百九十九条未直接提及监理单位，但监理单位作为工程建设过程中的重要参与方，其职责包括监督工程质量、确保工程符合验收标准等。因此，当工程未经验收擅自使用且存在质量问题时，监理单位应依据其职责采取相应行动。
三. 后续处理建议
- 与建设单位沟通：监理单位应与建设单位保持密切沟通，了解其整改计划和进度，并提供必要的支持和协助。
- 关注整改效果：监理单位应关注整改后的工程质量情况，确保问题得到有效解决。
- 准备应对法律责任：如因工程质量问题引发法律纠纷，监理单位应准备好相关证据和资料，以应对可能的法律责任追究。
综上所述，当工程未经验收擅自使用且存在质量问题时，监理单位应立即报告、督促整改并保留证据。这是监理单位履行其职责、保护自身权益的重要举措。同时，监理单位也应关注后续处理情况，确保工程质量问题得到有效解决。如有进一步需要，您可以继续咨询我。