你与私人老板虽未签订书面合同，但实际已构成了事实劳动关系，且视为订立了无固定期限劳动合同，老板辞退你应支付赔偿金。针对你的问题，分析如下：

一. 你与私人老板构成事实劳动关系

• 根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。你在私人老板处工作了10多年，虽未签订书面劳动合同，但已构成了事实劳动关系。

二. 视为订立了无固定期限劳动合同

• 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位从用工之日起满一年仍不与劳动者签订书面劳动合同的，就被视为用人单位已与劳动者订立了无固定期限劳动合同。因此，你与私人老板之间已视为订立了无固定期限劳动合同。

三. 老板辞退你应支付赔偿金

• 若老板辞退你属于违法辞退，你有权要求支付赔偿金。根据《劳动合同法》第八十七条，赔偿金的计算标准是经济补偿标准的两倍。经济补偿是按照劳动者在本单位的工作年限来计算的，每满一年就向劳动者支付一个月工资的标准。你已经工作了10多年，经济补偿就是10多个月的工资，赔偿金则是此数额的两倍。

四. 关于老板辞退后让签合同的问题

• 老板在辞退后才提出签合同，这并不能改变之前未签合同的事实，也不能免除其因违法辞退而应承担的赔偿责任。此时签合同可能只是老板为了规避法律责任而采取的一种手段。

我建议，你应搜集与工作相关的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等，先与老板进行协商解决，要求支付赔偿金。若协商不成，可以向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。