在劳动纠纷中，亲戚之间串供谎称不是亲戚，这一行为是否会承担责任，主要取决于该行为是否影响了案件的公正审理以及是否触犯了相关的法律规定。

首先，从法律原则上讲，诚实信用是法律的基本原则之一。在诉讼过程中，当事人应当如实陈述事实，不得伪造、篡改或隐瞒证据，也不得指使、贿买、胁迫他人作伪证。如果亲戚之间串供谎称不是亲戚，以逃避法律责任或获取不当利益，这种行为就违背了诚实信用的原则。

其次，如果这种行为被查实，可能会面临法律制裁。根据《中华人民共和国民事诉讼法》等相关法律的规定，对于伪造、毁灭重要证据，妨碍人民法院审理案件的，或者指使、贿买、胁迫他人作伪证的，人民法院可以根据情节轻重予以罚款、拘留；构成犯罪的，依法追究刑事责任。因此，亲戚之间串供谎称不是亲戚，如果情节严重，不仅可能面临民事上的不利后果，还可能触犯刑法，承担刑事责任。

最后，从劳动纠纷的角度来看，串供谎称不是亲戚可能会影响案件的公正审理。劳动纠纷的解决需要依据事实和法律进行公正裁决，如果当事人通过串供等方式歪曲事实，就会干扰仲裁机构或法院对案件的正确判断，从而损害对方的合法权益。因此，这种行为在劳动纠纷中也是不被允许的。

综上所述，在劳动纠纷中，亲戚之间串供谎称不是亲戚是可能会承担责任的。这种行为不仅违背了诚实信用的法律原则，还可能面临法律制裁，并影响案件的公正审理。因此，建议当事人在处理劳动纠纷时，应当如实陈述事实，遵守法律规定，以维护自己的合法权益和法律的尊严。