针对您提出的问题，关于劳务派遣员工被转包给第三方时是否可以不签合同，以及是否可以要求劳务派遣公司索赔，以下是我的详细解答：
一、劳务派遣员工被转包给第三方是否需要签合同
明确结论：劳务派遣员工被转包给第三方时，应当与第三方签订新的劳动合同或劳务派遣协议，以确保劳动关系的合法性和明确性。
法律解释：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，并按月支付劳动报酬。
- 当劳务派遣员工被转包给第三方时，原劳务派遣合同中的用人单位（即原劳务派遣公司）将发生变化，因此需要与新的用人单位（即第三方）重新签订劳动合同或劳务派遣协议。
- 签订新的合同或协议是为了明确劳动者与新的用人单位之间的权利义务关系，保障劳动者的合法权益。
二、是否可以要求劳务派遣公司索赔
明确结论：在特定情况下，劳务派遣员工可以要求劳务派遣公司进行索赔。
法律解释与情况分析：
- 如果劳务派遣公司在转包过程中违反了相关法律法规或合同约定，导致劳动者权益受损，劳动者有权要求劳务派遣公司承担相应的赔偿责任。
- 例如，如果劳务派遣公司未经劳动者同意擅自将其转包给第三方，或者转包过程中未妥善安排劳动者的工作和生活条件，导致劳动者遭受损失，劳动者可以依法向劳务派遣公司提出索赔要求。
- 索赔的具体金额和方式需要根据实际情况进行计算和确定，可能涉及劳动者的工资、福利、社会保险等损失。
三、建议与提醒
- 作为劳务派遣员工，在面临被转包给第三方的情况时，应主动了解相关法律法规和合同约定，确保自己的合法权益不受损害。
- 如果在转包过程中遇到任何问题或纠纷，应及时与劳务派遣公司和第三方进行沟通协商，寻求妥善解决方案。
- 必要时，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的咨询，请随时联系我。