结论前置：员工当天说辞职后，第三天不来上班且后续一个月都不来，通常可以被视为自动离职或旷工，公司有权根据内部规章制度和劳动合同约定进行处理，包括辞退，并且一般情况下无需支付经济补偿金。但具体还需考虑劳动合同、公司规章制度以及员工离职的具体原因等因素。

详细分析：

1. 劳动合同和公司规章制度：

   • 劳动合同中通常会约定员工的辞职流程、提前通知期限以及旷工等违规行为的处理办法。
   • 公司规章制度也会明确员工离职、旷工等相关规定，包括何时可以视为自动离职、旷工多少天可以辞退等。

2. 员工离职的具体原因：

   • 如果员工因个人原因突然离职，且未按照劳动合同或公司规章制度的规定提前通知或办理离职手续，公司有权根据相关规定进行处理。
   • 如果员工离职是因为公司存在违法行为或严重侵害员工权益，员工可能有权提出即时解除劳动合同，并可能要求公司支付经济补偿金。

3. 法律后果：

   • 在员工未按照劳动合同或公司规章制度规定提前通知或办理离职手续的情况下，公司可以视为员工自动离职或旷工，并有权根据内部规定进行辞退处理。
   • 如果公司辞退员工的行为符合劳动合同和公司规章制度的规定，且没有违反法律法规，那么公司一般无需支付经济补偿金。

4. 建议：

   • 公司在处理员工离职问题时，应严格按照劳动合同和公司规章制度的规定进行，确保合法合规。
   • 如果员工离职涉及法律纠纷，建议及时咨询专业律师，以便妥善处理。

综上所述，员工当天说辞职后第三天不来上班且后续一个月都不来，公司通常有权根据内部规章制度和劳动合同约定进行辞退处理，并且一般情况下无需支付经济补偿金。但具体还需根据劳动合同、公司规章制度以及员工离职的具体原因等因素进行综合判断。如果你有更具体的情况或疑问，可以直接向我咨询。