结论前置：一个月住了13天房租是否退还，主要取决于租赁合同中的具体条款以及双方是否形成事实租赁关系中的相关约定或交易习惯。若合同中有明确约定，则按约定执行；若合同无约定或约定不明确，且双方无法协商一致，则可能需要通过法律途径来解决。

详细分析：

1. 有明确约定的情况：

   • 如果租赁合同中明确规定了租客提前退租时房租的退还方式，比如按实际居住天数退还或不予退还等，那么应严格按照合同条款执行。

2. 没有约定或约定不明确的情况：

   • 在未签订书面租赁合同但已形成事实租赁关系的情况下，若双方对提前退租及房租退还问题没有明确约定或交易习惯，则租客提前退租可能构成违约。此时，房东有权要求租客承担一定的违约责任，如扣除部分房租作为违约金。但剩余房租是否退还及退还比例，应根据双方的实际损失、租赁市场的惯例以及公平原则来综合考量。
   • 若双方无法协商一致，租客可以通过向相关调解组织申请调解，或依据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规，向人民法院提起诉讼等方式来维护自身合法权益。法院在审理时，会综合考虑多方面因素，包括租客提前退租给房东造成的实际损失、剩余房租的合理性以及双方的过错程度等，从而作出公正裁决。

特殊情形：

• 如果房屋存在严重质量问题或房东有违约行为导致租客无法继续居住，即使合同中没有相关约定，租客也有权要求房东退还剩余房租，并可要求房东承担一定的赔偿责任。

建议：

• 在租赁房屋时，建议租客与房东签订书面租赁合同，并明确约定提前退租及房租退还等相关事宜，以避免日后产生纠纷。
• 若已发生纠纷，双方应首先尝试通过友好协商来解决问题。若协商无果，则可考虑通过法律途径来维护自身合法权益。

总之，一个月住了13天房租是否退还的问题较为复杂，需根据具体情况来综合判断。如有需要，您可以随时向我咨询相关的法律问题。