针对您提出的问题，关于在工厂干活受伤后申请认定工伤，以及仲裁公司是否存在劳动关系或挂靠关系的问题，以下是我的详细解答：
一、工伤认定
首先，工伤认定必须满足一定的条件，根据《工伤保险条例》的规定，主要包括：
- 工作时间和工作场所：事故必须发生在工作时间和工作场所内，包括工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的情况。
- 工作原因：职工受到的伤害必须与工作有关，包括因工作原因受到事故伤害的，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的，以及患职业病的等。
- 主观过错：除了劳动者本人故意造成事故伤害以外，即使劳动者有过失或者重大过失，仍然认定为工伤。
如果您在工厂干活时受伤，且满足上述条件，那么您有权申请工伤认定。
二、劳动关系与挂靠关系的仲裁
关于您与公司之间是否存在劳动关系或挂靠关系，这是影响工伤认定的一个重要因素。以下是对两种情况的详细分析：
存在劳动关系：
- 如果您与公司签订了劳动合同，或者虽然没有签订劳动合同，但实际上存在事实劳动关系（如公司定期支付工资、提供工作条件等），那么您与公司之间就存在劳动关系。在这种情况下，您受伤后可以直接向公司申请工伤认定。
存在挂靠关系：
- 如果您是通过包工头或者其他个人挂靠在公司名下工作的，那么您与公司之间可能不存在直接的劳动关系。但是，根据相关法律法规（如人社部发〔2013〕34号《关于执行〈工伤保险条例〉若干问题的意见》和最高人民法院法释〔2014〕9号《关于审理工伤保险行政案件若干问题的规定》），即使在这种情况下，如果包工头或者挂靠个人不具备用工主体资格，而您在工作中受伤，那么被挂靠的公司仍然需要承担工伤保险责任。
三、仲裁程序
如果您与公司之间就劳动关系或工伤认定存在争议，您可以通过仲裁程序来解决。具体步骤如下：
- 提交仲裁申请：向当地劳动人事争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据材料。
- 仲裁受理：仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，如果符合受理条件，会正式受理并通知双方。
- 仲裁调解：在仲裁过程中，仲裁委员会会尝试进行调解，如果双方能够达成调解协议，那么仲裁程序就会终止。
- 仲裁裁决：如果调解不成，仲裁委员会会根据事实和法律进行裁决，并出具仲裁裁决书。
四、结论与建议
综上所述，无论您与公司之间是否存在直接的劳动关系，只要您在工作时间和工作场所内因工作原因受伤，且满足工伤认定的条件，您都有权申请工伤认定。如果公司拒绝承认劳动关系或工伤，您可以通过仲裁程序来维护自己的合法权益。建议您在申请工伤认定和仲裁过程中，保留好相关证据材料（如医疗记录、工作证明、工资支付记录等），并咨询专业律师以获取更详细的法律帮助。