针对您提出的“市级检察院不支持行政监督申请后有新证据能推翻原判决、裁定如何维权”的问题，以下是我的详细解答：
首先，明确结论：在市级检察院不支持行政监督申请后，如果您有新证据能够推翻原判决、裁定，您可以通过向上级检察院申请复议、向法院申请再审或者通过其他法律途径进行维权。
接下来，分情况详细阐述：
向上级检察院申请复议：
- 根据相关法律规定，如果您对市级检察院的决定不服，可以在规定的时间内向上级检察院申请复议。
- 在申请复议时，您需要提交详细的复议申请书，并附上新证据材料，以证明原判决、裁定存在错误。
- 上级检察院将对您的复议申请进行审查，并作出是否支持您申请的决定。
向法院申请再审：
- 如果您认为新证据足以推翻原判决、裁定，且符合再审条件，您可以向法院提出再审申请。
- 在申请再审时，您需要提交再审申请书、新证据材料以及原判决、裁定等相关法律文书。
- 法院将对您的再审申请进行审查，如果认为符合再审条件，将启动再审程序，对案件进行重新审理。
其他法律途径：
- 除了上述途径外，您还可以考虑通过其他法律途径进行维权，如向相关行政机关投诉、向人大常委会提出申诉等。
- 这些途径的具体操作方式和适用条件可能因地区、案件类型等因素而有所不同，因此您需要仔细研究相关法律法规和程序规定。
最后，提醒注意事项：
- 在维权过程中，请务必保留好所有相关证据材料，包括新证据和原判决、裁定等相关法律文书。
- 请注意维权途径的时效性和程序要求，确保您的申请能够在规定的时间内得到受理和审查。
- 如果您在维权过程中遇到任何困难或问题，可以及时向专业律师咨询寻求帮助。
作为张敬辉律师，我专注于合同纠纷、刑事辩护、行政诉讼等领域。如果您在维权过程中需要进一步的法律帮助或咨询，请随时与我联系。