劳动行政部门可以认定事实上的劳动关系。这一结论基于以下详细分析：

法律依据

1. 《中华人民共和国劳动法》：该法为劳动行政部门在劳动行政管理方面提供了基础法律框架，虽然未直接规定确认劳动关系的职权，但赋予了劳动行政部门监督用人单位遵守劳动法律法规、处理劳动争议等职责。
2. 《中华人民共和国劳动合同法》：明确了劳动合同的订立、履行等法律要求，为劳动关系的认定提供了具体标准，并强化了劳动行政部门在劳动关系监管方面的作用。
3. 《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号）：明确规定了在劳动争议处理过程中，若双方对劳动关系存在争议且无法提供有效证据时，劳动行政部门有权依据相关规定进行事实认定。

实践操作

在实践中，劳动行政部门通常会通过以下方式进行劳动关系的认定：

1. 调查取证：收集工资支付记录、考勤记录、工作证等能够证明身份的证据材料。
2. 审查用人单位行为：审查用人单位是否依法与劳动者签订劳动合同、缴纳社会保险费、按时足额支付劳动报酬等。
3. 作出认定决定：基于调查取证和审查结果，依法作出劳动关系是否成立的认定决定，并保障劳动者的合法权益。

认定条件

在判断是否存在事实劳动关系时，需综合考虑以下关键要素：

1. 主体适格：用人单位需依法成立，劳动者需达到法定劳动年龄且具备劳动能力。
2. 管理与提供劳动：劳动者需接受用人单位的劳动管理，遵守其规章制度，并为用人单位提供有报酬的劳动。
3. 业务组成部分：劳动者提供的劳动需是用人单位业务的组成部分。

综上所述，劳动行政部门在劳动关系认定方面具有明确的法律依据和实践操作流程。当用人单位与劳动者之间就劳动关系是否存在发生争议时，劳动行政部门可以依法进行事实认定，并作出相应的决定。