关于老员工何时可以签无固定期限合同以及不签的赔偿问题，以下是我的详细解答：
一、老员工何时可以签无固定期限合同？
老员工在符合以下任一条件时，可以与用人单位签订无固定期限劳动合同：
连续工作满十年：根据《劳动合同法》规定，劳动者在同一用人单位连续工作满十年时，有权要求与该用人单位签订无固定期限劳动合同。例如，小李自2013年1月1日起在A公司不间断地工作至2023年1月1日，就满足了这一条件。
企业改革背景下的特殊情形：对于用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同的情况，若劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，则有权要求签订无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同后：当劳动者与用人单位连续订立了两次固定期限劳动合同，且没有出现《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形时，劳动者在第二次合同期满时有权要求续订无固定期限劳动合同。
用人单位未签订书面劳动合同的情形：如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者签订书面劳动合同，那么根据法律规定，这种情况将视为用人单位与劳动者已经订立了无固定期限劳动合同。
协商一致的情形：用人单位与劳动者在协商一致的基础上，也可以直接订立无固定期限劳动合同，不受上述任何条件的限制。
二、不签无固定期限合同的赔偿
如果用人单位未与劳动者签订无固定期限合同，通常需要按照以下方式进行赔偿：
从应当签订之日起向劳动者每月支付二倍的工资：例如，劳动者在该单位工作了5年，而用人单位一直未签订无固定期限合同，那这5年中每个月劳动者都可以获得双倍工资的赔偿。
劳动者因未签订无固定期限合同而解除劳动合同的经济补偿：如果劳动者因此提出解除劳动合同，有权要求用人单位支付经济补偿。经济补偿的标准是按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
综上所述，老员工在符合特定条件下可以与用人单位签订无固定期限劳动合同，而用人单位未签订无固定期限合同则需要承担相应的赔偿责任。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。