关于私人工厂辞退老员工的赔偿问题，这确实是一个涉及多个法律层面的复杂议题。以下是根据相关法律法规，为您提供的详细、清晰的解答：
一、合法辞退与经济补偿
在合法的前提下，工厂辞退员工需要支付一定的经济补偿。这些合法辞退的情形包括但不限于：
- 无过失性辞退：
- 当员工因患病、非因工负伤，医疗期满后不能胜任原工作或调整后的岗位；
- 员工经过培训或调岗后仍不能胜任工作；
- 因客观情况（如企业转型）导致合同无法履行，且双方未能协商达成一致。
在此类情况下，经济补偿的计算方式为：工作年限×月平均工资。具体地，工作年限每满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年按1年计算，不满6个月则支付0.5个月工资。月平均工资是基于解除合同前12个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等。
- 经济性裁员：
- 当企业因经营困难、转产、重大技术革新或其他客观经济情况发生重大变化而需要裁减人员，并且已经履行了法定程序（如提前30日通知工会、向劳动部门报告）。
经济补偿的标准与无过失性辞退相同。
二、违法辞退与赔偿金
如果工厂没有法定事由就随意辞退员工，这构成了违法解除劳动合同。此时，员工有权要求工厂按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：经济补偿金×2。
三、无需支付补偿的情形
在某些特定情形下，工厂辞退员工无需支付经济补偿。这些情形包括：
- 试用期间员工不符合录用条件（需有确凿证据）；
- 员工严重违反用人单位的规章制度（如旷工、盗窃等）；
- 员工严重失职或营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 员工与其他用人单位同时建立劳动关系，严重影响本单位工作任务，或拒不改正；
- 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立劳动合同，导致合同无效；
- 员工被依法追究刑事责任。
四、特殊群体的保护与补偿
对于特殊群体，如孕期、产期、哺乳期女职工，以及工伤或职业病员工和临近退休员工，工厂在辞退时需遵循更为严格的法律规定：
- 孕期、产期、哺乳期女职工原则上不得辞退，除非她们存在重大过错；
- 工伤或职业病员工在医疗期内或劳动能力受损时不得辞退，医疗期满后需支付补偿金及工伤补助；
- 临近退休员工（工作满15年且距退休不足5年）的辞退需经过严格审查。
五、其他注意事项
- 程序合法性：辞退员工需提前30日书面通知或支付代通知金，并通知工会以确保程序的合法性。
- 个税处理：补偿金在当地职工平均工资3倍以内的部分免税，超出部分需按照个人所得税规定缴纳。
- 争议解决：若对补偿金额有异议，员工可以向劳动仲裁机构申请仲裁或提起诉讼以维护自己的合法权益。
综上所述，私人工厂在辞退老员工时，必须严格遵守相关法律法规，并确保程序的合法性和补偿的合理性。同时，劳动者也应充分了解自己的权益，并留存好相关证据以便在必要时维护自身合法权益。