劳动仲裁申请人在仲裁过程中死亡，其代理权限会转移至近亲属或法定代理人。具体分析如下：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十五条，劳动者死亡的，由其近亲属或者代理人参加仲裁活动。这明确规定了劳动者死亡后，其仲裁参与权由近亲属或代理人行使。

2. 近亲属代理：

   • 在劳动仲裁过程中，如果申请人死亡，其近亲属（如配偶、子女、父母等）有权代替死者继续参与仲裁程序，以维护死者的合法权益。近亲属需要提供有效证据以证实其与死者的亲属关系。

3. 代理人代理：

   • 若劳动者在仲裁过程中丧失或者部分丧失民事行为能力，由其法定代理人代为参加仲裁活动。若无法定代理人，则由劳动争议仲裁委员会为其指定代理人。在劳动者死亡的情况下，若已指定代理人，则该代理人可继续参与仲裁活动。

4. 仲裁程序的处理：

   • 劳动者一方当事人（申请人或被申请人）死亡后，需要等待继承人或法定代理人表明是否参加仲裁。如果继承人或法定代理人表明愿意参加仲裁，将由其代替死亡的劳动者继续参与仲裁程序。
   • 如果继承人或法定代理人未表明是否参加仲裁，或者没有继承人或法定代理人，劳动仲裁委员会可能会根据具体情况决定中止案件审理，并书面通知当事人。中止审理的情形消除后，仲裁庭会恢复审理。

综上所述，劳动仲裁申请人在仲裁过程中死亡，其代理权限会转移至近亲属或法定代理人。近亲属或法定代理人有权代替死者继续参与仲裁程序，以维护死者的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。