结论：幼儿园合同到期后，单位一般不可以随意辞退你，但具体是否构成违法辞退需结合实际情况判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、合同到期后的正常处理方式
合同自然终止与续签
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，在合同到期这一天，你与幼儿园之间的劳动关系原则上自动结束。
- 如果幼儿园希望继续留用你，应当在合同到期前与你协商续签劳动合同。若双方就续签条件达成一致，可以签订新的劳动合同，继续维持劳动关系。
单位不续签的法律后果
- 如果幼儿园在合同到期后决定不续签，且没有法定理由（如你存在严重违反规章制度等情形），则幼儿园的行为可能构成违法终止劳动合同。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条、第四十七条的规定，幼儿园应当向你支付经济补偿。经济补偿的标准按照你在幼儿园工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向你支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向你支付半个月工资的经济补偿。
二、单位可能存在的违法辞退情形及应对
合同到期前单位提前辞退
- 如果幼儿园在合同到期前就以各种理由辞退你，且没有合法依据（如你存在严重失职、营私舞弊给幼儿园造成重大损害等情形），则幼儿园的行为构成违法解除劳动合同。
- 此时，你有权要求幼儿园继续履行劳动合同，或者要求幼儿园按照经济补偿标准的二倍向你支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：工作年限×月工资×2。
单位以不续签为由变相辞退
- 有些幼儿园可能会在合同到期前，通过调整工作岗位、降低工资待遇等方式，迫使你主动提出离职，从而避免支付经济补偿。这种行为如果缺乏合理依据，也可能构成违法辞退。
- 如果你遇到这种情况，应当保留好相关证据（如工资条、工作安排通知等），并及时向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
三、你的权利与应对措施
要求单位出具书面通知
- 无论幼儿园是决定不续签还是提前辞退你，都有义务向你出具书面的终止或解除劳动合同通知书，明确说明终止或解除劳动合同的原因、时间等事项。
- 如果幼儿园拒绝出具书面通知，你可以要求其出具，并保留好相关证据（如录音、聊天记录等），以备后续维权之需。
办理离职手续与结算工资
- 在劳动合同终止或解除后，幼儿园应当为你办理离职手续，包括出具解除劳动合同的证明、办理档案和社会保险关系转移手续等。
- 同时，幼儿园应当结清你的工资、奖金、津贴等所有劳动报酬，并按照规定支付经济补偿或赔偿金。
寻求法律援助与维权
- 如果你对幼儿园的处理方式有异议，或者认为自己的合法权益受到了侵害，可以及时向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 在维权过程中，你可以提供相关证据（如劳动合同、工资条、工作安排通知、书面通知等）来支持自己的主张。
建议：面对合同到期后单位可能存在的辞退行为，你要保持冷静，了解自己的权利和义务。如果遇到问题或争议，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供专业的法律建议和帮助。