结论前置：

1. 一般情况下，父亲不能随意支配属于子女的遗产。子女的遗产份额受法律保护，父亲作为监护人或家庭成员，无权擅自处置。
2. 若子女未成年，父亲作为监护人需履行管理职责，但不得损害子女利益。在管理子女财产时，必须遵循法律规定的原则和程序。

详细分析：

一、子女遗产的独立性

首先，需要明确的是，子女的遗产份额是独立于父母财产之外的。在母亲去世后，子女作为法定继承人，有权继承其应得的遗产份额。这部分遗产，无论是现金、房产还是其他财产形式，都归子女个人所有，父亲无权擅自支配。

二、父亲作为监护人的职责（若子女未成年）

1. 管理职责：如果子女尚未成年，父亲作为其法定监护人，有义务管理和保护子女的财产。但这并不意味着父亲可以随意支配这些财产。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，监护人应当按照最有利于被监护人的原则履行监护职责，除为维护被监护人利益外，不得处分被监护人的财产。

2. 不得损害子女利益：父亲在管理子女财产时，必须确保子女的利益不受损害。例如，不能将子女的财产用于自己的消费或投资，更不能将子女的财产赠与他人或进行其他可能损害子女利益的行为。

三、父亲擅自支配子女遗产的法律后果

如果父亲擅自支配了属于子女的遗产，可能面临以下法律后果：

1. 民事责任：子女或其他法定监护人可以要求父亲返还被擅自支配的财产，并可能要求赔偿因此造成的损失。

2. 行政责任或刑事责任：在严重情况下，如果父亲的行为构成犯罪（如侵占罪、挪用资金罪等），还可能面临行政处罚或刑事追究。

四、特殊情况下的处理

1. 子女同意：如果子女已经成年或具有完全民事行为能力，且明确表示同意父亲支配其遗产，那么父亲可以在子女同意的范围内进行支配。但这种情况下，最好有书面协议或见证人，以避免未来可能出现的纠纷。

2. 为了子女的利益：在某些特殊情况下，如子女需要紧急医疗救治或面临其他严重困难时，父亲可能需要在不损害子女长远利益的前提下，临时支配子女的遗产。但这种情况下，也必须尽快通过法律程序进行确认和补救。

法律建议：

• 明确遗产份额：在母亲去世后，应尽快通过法律程序明确子女的遗产份额和继承权，以避免未来可能出现的纠纷。
• 妥善管理财产：如果子女未成年，父亲作为监护人应妥善管理子女的财产，并定期向子女或其他法定监护人报告财产状况。
• 寻求法律帮助：如果遇到复杂的遗产分配问题或父亲擅自支配子女遗产的情况，建议及时咨询专业律师，以维护子女的合法权益。

举例说明：

假设母亲去世后留下了一套房产和一定数额的存款作为遗产。如果子女已经成年，那么他们有权直接继承这些遗产，父亲无权擅自支配。如果子女未成年，父亲作为监护人可以管理这些财产，但必须确保子女的利益不受损害。例如，父亲不能将房产出售并将所得款项用于自己的消费或投资；如果需要将存款用于子女的教育或医疗等必要支出，也必须保留相关凭证并尽快向子女或其他法定监护人报告。