父亲留下的遗产，母亲通常不能独占，而是需按照法定继承或遗嘱继承的原则进行分配。以下是对此问题的详细分析：
一、遗产范围确定
首先，需要明确遗产的具体范围。若父母存在夫妻共同财产，如房产、存款等，应先进行分割，通常夫妻双方各占一半。分割后，属于父亲的那部分财产方构成遗产，进入后续的继承程序。
二、法定继承原则
继承顺序：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产的继承顺序如下：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
母亲的继承权：
- 作为父亲的配偶，母亲属于第一顺序继承人，有权与其他第一顺序继承人（如子女、父亲的父母，若仍在世）共同继承父亲的遗产。在分配遗产时，原则上应均等分割，但对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时应当予以照顾。对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。
三、遗嘱继承与遗赠
遗嘱的效力：
- 如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并且遗嘱中明确指定了遗产的继承人及继承份额，那么应当按照遗嘱的内容进行继承。在这种情况下，母亲可能无法继承全部或部分遗产，具体取决于遗嘱的内容。但需注意，若母亲属于法定继承人范围且未被遗嘱排除，同时符合缺乏劳动能力又没有生活来源等特定情形，她仍可能基于法律对特定情形的保护享有相应权利。
遗嘱的执行：
- 遗嘱执行人需按照法律规定和遗嘱内容处理遗产，确保各继承人的合法权益得到保障。
四、特殊情况下的遗产分配
夫妻共同财产的特殊处理：
- 若遗产中包含夫妻共同财产，如房产，且该房产为夫妻共同所有，则需先确定各自产权比例。例如，若房产为夫妻共同财产，且未约定各自份额，则通常视为各占50%。父亲去世后，其50%的份额进入继承程序，由母亲和其他第一顺序继承人共同继承。
转继承与代位继承：
- 若继承人在遗产分割前死亡，其应继承份额可由直系晚辈血亲代位继承；若继承开始后实际接受遗产前死亡，其份额可转由其继承人继承。这些规则可能影响母亲最终获得的遗产份额。
五、权益维护途径
若母亲或其他法定继承人认为遗产分配不公，可通过以下途径维护自身合法权益：
协商处理：
- 继承人之间应本着互谅互让、和睦团结的精神，通过协商方式解决遗产分配问题。
法律途径：
- 若协商不成，可寻求人民调解委员会的帮助进行调解，或直接向人民法院提起诉讼，通过法律手段解决争议。
总结与建议：
父亲留下的遗产并非由母亲独占，而是需根据是否存在遗嘱、遗赠扶养协议以及法定继承的顺序和原则来进行合理分配。在处理遗产问题时，应遵循法律法规，同时兼顾人情事理，确保遗产分配的公平与公正。若母亲或其他继承人对遗产分配有异议，建议首先尝试通过协商方式解决，若协商无果，则可依法采取相应法律措施维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。