针对您提出的“邻居把我家树砍了，法律怎么制裁他”的问题，以下是从法律责任、应对措施及建议三个方面为您进行的详细分析：
一、法律责任分析
民事责任：
- 树木作为您家的私人财产，是受到法律严格保护的。邻居故意砍伐您的树木，无疑侵犯了您的财产权。
- 您有权要求邻居赔偿树木的本身价值，这包括树木的生长价值、市场价值等。同时，如果因树木被砍而给您带来了其他经济损失，如预期收益损失（例如，如果这棵树是果树，原本可以结出果实带来收益），您也有权要求邻居进行赔偿。
- 赔偿金额可以通过双方协商确定，如果协商不成，您可以申请有资质的评估机构对树木价值进行评估，或者通过民事诉讼的方式，由法院来判定赔偿金额。
行政责任：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，故意损毁公私财物的，公安机关可以对其进行治安处罚。具体来说，可处五日以上十日以下拘留，并可处五百元以下罚款；如果情节较重，比如多次损毁或者损毁财物价值较大，处十日以上十五日以下拘留，并可处一千元以下罚款。
- 如果被砍伐的树木价值较小，不构成犯罪，那么公安机关就可以依据上述法律对邻居进行治安处罚。
刑事责任：
- 如果被砍伐的树木价值达到一定标准，邻居的行为就可能涉嫌故意毁坏财物罪。
- 根据相关规定，故意毁坏公私财物，如果造成损失五千元以上、毁坏三次以上、纠集三人以上公然毁坏等情形，就应当予以立案追诉。
- 一旦构成故意毁坏财物罪，邻居可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者罚金的处罚；如果数额巨大或者有其他特别严重情节，处罚将更为严厉，可能处三年以上七年以下有期徒刑。
二、应对措施
- 保护现场：在发现邻居砍树后，您应尽可能保护现场，避免证据被破坏，比如不要随意移动被砍的树木或者清理现场。
- 及时报警：向警方报案，让警方介入调查，并收集相关证据，如现场照片、视频等。
- 收集证据：除了现场照片和视频，您还可以寻找目击者，收集他们的证人证言，以便后续通过合法途径维权。
- 法律咨询：考虑咨询专业律师，了解具体法律权益和可能的诉讼途径，以便更好地维护自己的权益。
三、建议
- 尝试沟通：在采取法律手段前，您可以先与邻居进行沟通，了解其砍树的原因和态度，看是否能通过协商解决此事。
- 依法维权：如果邻居不愿承担责任或者态度恶劣，您应依法维护自己的权益，可以通过民事诉讼或刑事报案等途径来追究其法律责任。
综上所述，邻居故意砍伐您家的树木是违法的，您应根据具体情况采取相应的法律措施来维护自己的合法权益。在处理过程中，务必保持冷静和理性，依法行事。希望这些分析能对您有所帮助。