核心结论：邻居私自砍伐您家的树属于侵权行为，您有权要求赔偿损失并可通过法律途径维权。具体赔偿金额需结合树木价值、砍伐情节等因素综合确定，法律程序分为协商、投诉、诉讼三步。以下是详细分析：

一、邻居行为的法律定性

根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。邻居未经您同意砍伐树木，构成对您财产权的侵害，需承担停止侵害、赔偿损失等民事责任。若树木属于名贵物种或具有特殊纪念意义，还可能涉及精神损害赔偿（需法院酌情支持）。

二、赔偿金额的确定方式

赔偿需以“填平损失”为原则，具体计算方法如下：

1. 直接损失：树木的市场价值（可通过林业部门评估、购买凭证、同类树木市场价等证明）。
   示例：若树木为10年树龄的桂花树，当地市场价约5000元，则直接损失为5000元。
   
2. 间接损失：因砍伐导致的其他损失（如树木结果收益、遮阴功能损失等），需提供证据证明。
   
3. 惩罚性赔偿：若邻居存在故意毁坏财物且情节严重（如多次砍伐、恶意破坏），可主张《民法典》第1184条中的“惩罚性赔偿”，但需法院综合判断。
   

建议：立即拍照/录像固定现场，联系林业部门或第三方评估机构出具树木价值报告，作为索赔依据。

三、法律维权程序

1. 协商调解：

   • 优先与邻居沟通，明确要求赔偿金额及期限，可邀请居委会/物业见证并签订书面协议。
     
   • 若协商成功，建议通过银行转账留痕，避免现金交易。
     

2. 行政投诉：

   • 向当地林业局或城管部门举报邻居的毁绿行为，要求行政处罚（如罚款、责令补种）。
     
   • 行政处理结果可作为后续诉讼的证据。
     

3. 民事诉讼：

   • 起诉条件：准备起诉状、证据材料（树木权属证明、砍伐现场照片、评估报告等）向法院提起侵权之诉。
     
   • 诉讼流程：立案→庭前调解→开庭审理→判决执行。若邻居拒不履行判决，可申请强制执行。
     

提示：若树木价值较高（如超过5000元），邻居可能涉嫌《刑法》第275条故意毁坏财物罪，可同步向公安机关报案。

四、关键注意事项

1. 证据固定：砍伐前后的对比照片、邻居承认砍伐的录音/聊天记录、树木权属证明（如房产证、土地证附图）是核心证据。
   
2. 时效限制：民事诉讼时效为3年，自知道权利受损之日起计算，建议尽快行动。
   
3. 合理索赔：赔偿金额需与实际损失相当，过高主张可能被法院调整。
   

如需进一步帮助，可提供树木种类、树龄、砍伐情节等细节，我将为您计算具体赔偿范围并制定维权方案。