结论前置：奶奶在特定情况下有权起诉孩子母亲要抚养费，但这一权利的行使需严格遵循法律规定，并确保证据的充分性和合法性。
一、抚养责任的一般原则
根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条，父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。这是抚养责任的基本原则，即父母是首要的抚养义务人。因此，在正常情况下，孩子的抚养费应由父母承担，奶奶并无直接起诉孩子母亲要求支付抚养费的法定权利。
二、奶奶起诉抚养费的特殊情形
然而，在特定情况下，奶奶可能作为孩子的实际抚养人，有权起诉孩子母亲要求支付抚养费。这些特殊情形主要包括：
父母死亡或无力抚养：
- 如果孩子的父母一方或双方已经死亡，或者因疾病、残疾、失业等原因无力抚养子女，且孩子实际由奶奶照顾抚养，那么奶奶在承担了本应由孩子父母承担的抚养费用后，有权以孩子的名义向孩子的母亲（或其他具有抚养义务的亲属）主张抚养费。
母亲未履行抚养义务：
- 如果孩子的母亲未履行抚养义务，如长期离家出走、拒绝支付抚养费等，且孩子实际由奶奶抚养，奶奶也可以考虑通过法律途径要求母亲支付抚养费。但这种情况下，奶奶通常需要先成为孩子的法定监护人或实际抚养人，才能以孩子的名义提起诉讼。
三、法律依据与实践操作
- 法律依据：主要来源于《中华人民共和国民法典》的第一千零六十七条和第一千零七十四条。前者明确了父母的抚养义务及子女的权利，后者则规定了祖父母在特定情况下的抚养义务及权利。
- 实践操作：奶奶若需起诉要求抚养费，必须向法院提交充分证据，证明父母已经死亡、无力抚养或未履行抚养义务，以及自己实际承担了抚养孩子的责任。法院将依据这些证据进行审理，并作出相应判决。
四、注意事项与建议
- 收集证据：奶奶在起诉前，应尽可能收集并整理好相关证据，如父母的死亡证明、无力抚养的证明、自己实际抚养孩子的证据等，以确保诉讼的顺利进行。
- 寻求法律帮助：由于抚养费纠纷涉及法律程序和证据规则，奶奶在起诉前最好咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及如何通过法律途径维护自己和孩子的合法权益。
- 家庭协商：在可能的情况下，奶奶也可以尝试通过家庭协商的方式解决抚养费问题，以避免不必要的法律纠纷，保持家庭关系的和谐与稳定。
五、具体案例说明
假设孩子的父亲已经去世，母亲长期离家出走且未支付抚养费，孩子一直由奶奶抚养。在这种情况下，奶奶可以作为孩子的实际抚养人，向法院提起诉讼，要求孩子的母亲支付抚养费。法院将根据实际情况和证据，判决母亲支付相应的抚养费。
综上所述，奶奶在特定情况下确实有权起诉孩子母亲要求支付抚养费，但这一权利的行使需严格遵循法律规定，并确保证据的充分性和合法性。如果您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。