当劳动合同到期公司未续签，但您仍在继续工作时，公司的赔偿责任与处理方式确实需要根据具体情况来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、公司原因未续签的情况
支付双倍工资：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若公司自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同，应向您每月支付二倍的工资。因此，在劳动合同到期后，若公司未及时与您续签合同，而您仍继续工作，从合同到期满一个月的次日起，公司需支付双倍工资，直至双方签订新书面劳动合同或劳动关系终止，最长支付期限不超过11个月。
视为订立无固定期限劳动合同：
- 若公司自用工之日起满一年不与您订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第十四条，将视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，公司不能随意解除劳动关系，否则将面临更严格的法律责任。
经济补偿：
- 除公司维持或提高劳动合同约定条件续订而您不同意的情况外，劳动合同期满终止时，公司应按您在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
二、您个人原因未续签的情况
- 若是您个人原因拒绝与公司续签劳动合同，公司则无需支付双倍工资赔偿。但公司应保留相关证据，如您拒绝续签的书面声明或邮件等，以证明是您拒绝续签。
三、继续履行与解除劳动关系的处理
视为继续履行原合同：
- 若劳动合同到期后，您继续在公司工作且公司未提出异议，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此后，若公司想解除劳动关系，应提前30天通知您或额外支付一个月工资作为代通知金，并按规定支付经济补偿金。
协商解除与法律途径：
- 若公司或您不愿意继续履行劳动关系，双方应协商解决。无法达成一致时，任何一方可通过法律途径解决争议，如申请劳动仲裁或提起诉讼。
四、实际赔偿金额的计算示例
假设您的月工资为5000元，劳动合同于2023年1月1日到期，之后未续签但继续工作至2024年1月1日：
- 2023年2月至2023年12月：共11个月，公司需支付双倍工资差额，即额外支付5000元/月×11个月=55000元。
- 2024年1月1日起：视为已订立无固定期限劳动合同，无需再支付双倍工资差额。
五、注意事项
时效问题：
- 您主张双倍工资差额的仲裁时效为一年，从知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，您应及时行使自己的权利。
证据收集：
- 在申请劳动仲裁时，您需要提供证据证明您与公司存在劳动关系以及未续签劳动合同的事实。例如，工资支付记录、考勤记录、工作证等。
协商解决：
- 在实际操作中，您可以先尝试与公司进行协商，要求签订书面劳动合同并支付相应的赔偿。如果协商不成，再考虑通过法律途径解决。
综上所述，当劳动合同到期公司未续签但您仍在继续工作时，公司的赔偿责任与处理方式需根据具体情况来确定。建议您及时与公司沟通并咨询专业律师或相关机构，以确保自身权益得到妥善维护。