结论前置：劳动合同到期不续签但劳动者仍在上班的情况下，公司或用人单位的赔偿责任与处理方式需根据具体情形来确定，主要包括支付双倍工资、经济补偿以及可能形成的无固定期限劳动合同等情形。
一、用人单位原因未续签
支付双倍工资
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在劳动合同到期后，若用人单位未及时与劳动者续签合同，而劳动者仍继续工作，从合同到期满一个月的次日起，用人单位需支付双倍工资，直至双方签订新书面劳动合同或劳动关系终止，最长支付期限不超过11个月。
- 举例：假设劳动合同于2023年1月1日到期，用人单位未续签，劳动者继续工作至2023年12月31日，且在此期间未签订新合同，则用人单位需从2023年2月1日起至2023年12月31日支付双倍工资。
视为订立无固定期限劳动合同
- 若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第十四条，视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，用人单位不能随意解除劳动关系，否则将面临更严格的法律责任，如支付赔偿金等。
经济补偿
- 除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意的情况外，劳动合同期满终止时，用人单位应按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）
二、劳动者原因未续签
- 若是劳动者个人原因拒绝与用人单位续签劳动合同，用人单位无需支付双倍工资赔偿，但需保留相关证据（如劳动者签字的拒绝续签通知书等）以证明是劳动者拒绝续签。此时，若用人单位决定终止劳动关系，也无需支付经济补偿。
三、继续履行与解除劳动关系
视为继续履行原合同
- 若劳动合同到期后，劳动者继续在公司工作且用人单位未提出异议，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此后，若用人单位想解除劳动关系，应提前30天通知劳动者或额外支付一个月工资作为代通知金，并按规定支付经济补偿金（若符合支付经济补偿金的条件）。
协商解除与法律途径
- 若用人单位或劳动者不愿意继续履行劳动关系，双方应协商解决。无法达成一致时，任何一方可通过劳动仲裁委员会申请仲裁，必要时可诉诸法院，以维护自己的合法权益。
四、特殊情况的赔偿
- 在特定情况下，如用人单位存在过错（如未依法为劳动者缴纳社会保险费、未及时足额支付劳动报酬等）导致未能及时续签劳动合同，劳动者可依法要求用人单位支付双倍工资作为赔偿，并可能主张经济补偿金。
五、建议与总结
- 及时沟通：为避免不必要的纠纷和损失，建议双方在劳动合同到期前及时沟通并明确续签意向。
- 保留证据：无论是用人单位还是劳动者，都应保留好与劳动合同续签、履行相关的证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以便在发生争议时维护自己的合法权益。
综上所述，劳动合同到期不续签但劳动者仍在上班的情况下的赔偿问题需根据具体情况来判断和处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。