结论：公司不给基于私人医院病假条的病假是否合理，需分情况讨论，主要取决于病假条的真实性和有效性，以及公司规章制度的具体要求。
一、病假条的真实性和有效性
真实性和合法性：
- 私人医院作为合法设立、具备相应医疗资质的医疗机构，其依据诊疗规范和实际病情为患者开具的病假条，在法律上具有证明效力。
- 如果病假条是真实、合法开具的，且能够证明员工确实需要休息治疗，那么公司应当认可这份病假条。
核实与调查：
- 公司有权对病假条的真实性进行核实，包括但不限于要求员工提供进一步的医疗证明或联系医院进行确认。
- 如果公司怀疑病假条的真实性，可以进行调查，但调查过程应合法合规，不得侵犯员工的合法权益。
二、公司规章制度的具体要求
规章制度的内容：
- 不同公司对于病假条的要求可能有所不同。有些公司可能规定必须是指定的医疗机构（如特定公立医院或级别医院）开具的病假条才有效。
- 这种规定通常是出于确保病假真实性、便于核实等考虑。如果员工提供的是不在指定范围内的私人医院病假条，可能不被公司认可。
规章制度的合法性：
- 公司的规章制度需经过民主程序制定并向员工公示，才具有合法性和有效性。
- 如果公司规章制度中排除了合法私人医院病假条的有效性，且该规定未经过民主程序制定或未向员工公示，那么该规定可能因违反法律法规关于劳动者权益保护的原则而存在合法性问题。
三、员工权益保护途径
与公司协商：
- 如果公司拒绝认可私人医院病假条，员工可以首先与公司的人力资源部门或直接上级进行沟通，详细说明病情、医生开具病假条的必要性，并表达希望按照病假流程请假的意愿。
- 在沟通过程中，员工可以了解公司拒绝的具体原因，并尝试共同探讨解决方案。
申请调解或投诉：
- 如果与公司协商无果，员工可以向基层人民调解组织、企业劳动争议调解委员会或具有劳动争议调解职能的组织申请调解。
- 员工也可以向当地劳动监察部门投诉，投诉前需收集好相关证据，包括病假条、病历、诊断证明及与公司沟通的记录等。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如果调解未能解决问题，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁前需准备好仲裁申请书及所有相关证据。
- 如对仲裁结果不满意，员工可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，员工需准备充分的证据支持自己的主张，并遵循法院的诉讼程序。
四、相关法律依据
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三条，劳动者享有休息休假的权利，单位应批准员工因病需要的休息。
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工在医疗期内，单位不得解除劳动合同，医疗期最长可达24个月。
建议：如果员工持有真实、合法的私人医院病假条，且公司规章制度未明确排除其有效性，那么公司应当认可这份病假条并批准员工的病假申请。如果公司拒绝认可或存在其他争议，员工可以通过协商、调解、仲裁及诉讼等途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。