结论：申请仲裁不予执行后，是否可以用这份仲裁书再通过别的方式执行，需视具体情况而定。一般来说，若仲裁裁决存在法定不予执行的情形，则不能直接依据该裁决书申请其他方式的执行；但若仲裁裁决本身无误，仅因执行程序等问题导致不予执行，则可能存在其他救济途径。以下从不同角度进行详细分析：

1. 仲裁裁决不予执行的法定情形：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，仲裁裁决存在下列情形之一的，人民法院应当裁定不予执行：
     • 当事人在合同中没有订有仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议的；
     • 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁的；
     • 仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序的；
     • 裁决所根据的证据是伪造的；
     • 对方当事人向仲裁机构隐瞒了足以影响公正裁决的证据的；
     • 仲裁员在仲裁该案时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁决行为的。
   • 若仲裁裁决因上述情形之一被裁定不予执行，则该裁决书在法律上失去了强制执行的效力，不能直接依据该裁决书申请其他方式的执行。

2. 仲裁裁决不予执行后的救济途径：

   • 重新达成仲裁协议并申请仲裁：如果仲裁裁决被不予执行是因为原仲裁协议存在瑕疵或无效，双方当事人可以重新达成有效的仲裁协议，并依据新的仲裁协议重新申请仲裁。
   • 向人民法院起诉：如果仲裁裁决被不予执行，且双方当事人没有重新达成仲裁协议，或者新的仲裁协议也无效，那么当事人可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，通过诉讼程序解决争议。
   • 申请撤销仲裁裁决后的重新仲裁或诉讼：在特定情况下，如仲裁裁决存在严重违法或违反公共秩序的情形，当事人还可以向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销仲裁裁决。如果撤销申请被驳回，且原仲裁协议有效，当事人可以依据原仲裁协议重新申请仲裁；如果原仲裁协议无效或无法执行，当事人则可以选择向人民法院起诉。

3. 关于“再利用别的方式执行”的具体分析：

   • 如果仲裁裁决被不予执行是因为执行程序上的问题（如执行法院管辖错误、执行标的错误等），而非裁决本身的问题，那么当事人可以通过纠正执行程序上的错误，重新申请执行。但这种情况下，并不是直接“再利用”原仲裁裁决书，而是基于纠正后的执行程序进行申请。
   • 如果仲裁裁决被不予执行是因为裁决本身存在法定不予执行的情形，那么该裁决书已经失去了强制执行的效力，无法再通过任何方式直接依据该裁决书申请执行。

建议：在面对仲裁裁决不予执行的情况时，建议当事人首先仔细审查不予执行的裁定书，了解不予执行的具体原因。如果是因为执行程序上的问题，可以尝试纠正错误后重新申请执行；如果是因为裁决本身的问题，则需要考虑通过重新仲裁或诉讼等途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。