再审程序中一般不可以提出新的诉讼请求，但在特定情形下可以提出。以下是对此问题的详细分析：
一、再审程序的基本原则与限制
再审程序是针对已经发生法律效力的判决、裁定进行的特殊救济程序，其目的在于纠正原审裁判中的错误，确保司法公正。根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第四百零五条的规定，人民法院审理再审案件应当围绕再审请求进行，当事人的再审请求超出原审诉讼请求的，不予审理；但符合另案诉讼条件的，告知当事人可以另行起诉。这一规定明确了再审程序的审查范围，即主要针对原审裁判中的事实认定和法律适用进行审查，而非重新审理案件或增加新的诉讼请求。
二、可以提出新诉讼请求的特定情形
尽管再审程序原则上不允许提出新的诉讼请求，但在以下特定情形下，法院可能会考虑审理新的诉讼请求：
原审未合法传唤：
- 若原审过程中法院未依法向当事人送达诉讼文书，导致当事人未能参加诉讼，进而未能提出相关诉讼请求，那么在再审中提出的新诉讼请求，法院可能会予以审理。
有新证据足以推翻原裁判：
- 当事人在再审时提供的新证据若能改变原审裁判结果，且与新的诉讼请求密切相关，法院可能会考虑审理该新诉讼请求。但这种情况非常罕见，且需要满足严格的条件，如新证据必须是在原审庭审结束后新发现的，且无法通过合理努力在原审中获得等。
原审遗漏诉讼请求：
- 如果原审原告在原审中提出了多项诉讼请求，而原审法院仅对其中的部分请求作出判决，遗漏了其他请求，那么当事人在申请再审时，可以就遗漏的请求提出主张。这种情况下，虽然看似是“新”的诉求，但实际上是在原审中已经提出但被遗漏的部分。
涉及公共利益或国家利益：
- 若新的诉讼请求涉及公共利益、国家利益或社会公共秩序等重要方面，且不审理该新请求将导致明显不公正或对公共利益造成重大损害，法院可根据具体情况决定是否允许增加。例如，在环境保护、消费者权益保护等具有广泛社会影响的案件中，若新诉讼请求与公共利益密切相关，法院可能会在再审中予以考虑。
三、再审中提出新诉讼请求的注意事项
时限：
- 应在再审程序开始后的合理期限内提出新增诉讼请求，以避免影响案件审理进度。
证据和理由：
- 提出新增诉讼请求时，应提供充分的证据和理由支持其请求，否则法院可能不会允许。
诉讼费用：
- 新增诉讼请求可能涉及诉讼费用的调整，当事人应了解相关费用标准并做好准备。
四、实际操作建议
- 在考虑再审中提出新诉讼请求前，当事人应仔细评估其与原审案件的关联性，并确保符合起诉条件。
- 如确实存在新的重要诉求，且满足再审中新增诉讼请求的例外情形，应积极向法院提出申请，并提供充分的证据和理由。
- 若新增诉讼请求与原审案件无直接关联或不符合起诉条件，建议当事人另行提起诉讼以维护自身权益。
综上所述，再审中提出新的诉讼请求需谨慎对待，并应确保符合相关法律法规及司法解释的规定。在实际操作中，如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。