结论：被违法辞退期间，即使已经申请劳动仲裁且未签解除劳动合同，您仍然可以重新找工作。以下从法律层面和实际操作层面为您详细分析：
一、法律层面分析
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》及相关规定，劳动者在申请劳动仲裁期间享有就业自主权。法律并未限制劳动者在争议解决过程中寻找新工作，这是基于以下考虑：
- 仲裁程序耗时：劳动仲裁程序通常需要数月时间完成，劳动者有权通过其他途径维持生计，避免因长时间等待仲裁结果而陷入经济困境。
- 就业权利保障：就业是劳动者的基本权利，法律保护劳动者在合法范围内的就业选择，不会因正在进行的劳动仲裁而剥夺这一权利。
二、实际操作层面考量
虽然法律允许您在仲裁期间找工作，但实际操作中仍需注意以下几点，以确保您的权益不受损害：
时间管理：
- 仲裁流程可能涉及多次庭审或调解，您需要预留时间配合调查取证。建议优先选择灵活岗位（如兼职、自由职业），避免与仲裁日程冲突。
- 若新工作需要您投入大量时间和精力，可能会影响您对仲裁案件的准备和应对，因此需谨慎选择。
社保衔接：
- 若原单位已停缴社保，新雇主可依法为您续缴。但需注意部分城市存在“补缴窗口期”（如离职后3个月内），建议您提前咨询当地社保部门，了解具体政策。
- 社保的连续缴纳对于您的医疗、养老等权益至关重要，因此务必确保社保的顺利衔接。
证据留存：
- 在新工作期间，您应妥善保存劳动合同、考勤记录等材料。这些材料不仅有助于您在新工作中维护自身权益，还能防止原单位以“旷工”等理由反诉您。
- 若仲裁结果支持您获得赔偿，这些材料还可作为您失业期间的收入证明，有助于您争取更合理的赔偿金额。
竞业限制：
- 若您与原单位签订的劳动合同中包含竞业限制条款，您需严格履行约定行业/地域限制。例如，若您原为科技公司程序员，离职后不得加入竞品公司，否则可能影响仲裁胜诉后的赔偿金执行。
- 竞业限制条款是保护原单位商业秘密和竞争优势的重要手段，违反该条款可能导致您承担法律责任。
心理调适：
- 求职过程有助于缓解您的经济压力，但需避免因频繁请假影响仲裁准备。您可以通过线上办公、弹性工作等方式平衡两者。
- 保持积极的心态和良好的心理状态对于应对仲裁案件和寻找新工作都至关重要。
三、操作建议
优先处理紧急事务：
- 若仲裁需补充材料（如工资流水、辞退通知），您应在入职新单位前完成提交，避免后续沟通成本。
- 确保仲裁案件的顺利进行是您当前的首要任务，因此需合理安排时间，优先处理与仲裁相关的事务。
谨慎选择入职时机：
- 若仲裁结果直接影响您的经济补偿金（如N+1赔偿），建议您在裁决书生效后再办理新单位入职手续，确保权益最大化。
- 在等待仲裁结果期间，您可以继续寻找合适的工作机会，但需谨慎考虑入职时机，以免因过早入职而影响仲裁结果的执行。
法律咨询辅助决策：
- 针对复杂情况（如高管涉密岗位、集体诉讼案件），您可委托我评估新工作对仲裁的影响，必要时签订风险告知书。
- 作为专业律师，我能够为您提供全面的法律咨询和风险评估服务，帮助您做出更明智的决策。
总结：被违法辞退期间申请劳动仲裁并不妨碍您寻找新工作。但您需注意时间管理、社保衔接、证据留存、竞业限制和心理调适等方面的问题，并谨慎选择入职时机。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。