结论：被公司书面辞退后，在申请劳动仲裁期间，您完全可以重新找工作。以下是从不同角度的详细分析：
一、法律层面分析
就业自主权：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》及相关规定，劳动者在申请劳动仲裁期间享有就业自主权。法律并未限制劳动者在争议解决过程中寻找新工作，这是劳动者的基本权利。
劳动关系状态：
- 既然您已被公司书面辞退，那么与原公司的劳动关系已经终止（除非辞退行为被认定为违法，此时劳动关系虽未实际终止，但您仍有权寻求新工作，且仲裁结果可能支持您恢复劳动关系或获得赔偿）。因此，您有权与其他单位建立新的劳动关系。
二、实际影响考量
时间管理：
- 劳动仲裁流程可能涉及多次庭审或调解，需要您预留时间配合调查取证。建议您在选择新工作时，优先考虑灵活岗位（如兼职、自由职业），以便更好地平衡仲裁事务与新工作。
社保衔接：
- 若原单位已停缴社保，新雇主可依法为您续缴。但需注意，部分城市存在“补缴窗口期”（如离职后3个月内），建议您提前咨询当地社保部门，确保社保不断缴，保障您的合法权益。
证据留存：
- 在新工作期间，您应妥善保存劳动合同、考勤记录等材料。这些材料不仅有助于您在新单位的工作，还能在仲裁过程中作为证明您失业期间收入状况的证据，影响赔偿金额的确定。
竞业限制：
- 若您与原单位签订的劳动合同中包含竞业限制条款，您需严格履行约定的行业或地域限制。例如，若您原为科技公司程序员，离职后不得加入竞品公司，否则可能影响仲裁胜诉后的赔偿金执行。
心理调适：
- 求职过程有助于缓解经济压力，但也可能因频繁请假影响仲裁准备。建议您通过线上办公、弹性工作等方式平衡两者，确保仲裁事务不受影响。
三、操作建议
优先处理紧急事务：
- 若仲裁过程中需要补充材料（如工资流水、辞退通知等），建议您在入职新单位前完成提交，以避免后续沟通成本和时间延误。
谨慎选择入职时机：
- 若仲裁结果直接影响您的经济补偿金（如N+1赔偿），建议您在裁决书生效后再办理新单位入职手续。这样可以确保您获得应得的赔偿，避免因提前入职而影响权益。
法律咨询辅助决策：
- 针对复杂情况（如高管涉密岗位、集体诉讼案件等），您可向我咨询，我会评估新工作对仲裁的影响，并提供专业建议。必要时，我们可以签订风险告知书，明确双方的权利和义务。
总结：被公司书面辞退后，在申请劳动仲裁期间，您完全有权重新找工作。但需注意时间管理、社保衔接、证据留存、竞业限制以及心理调适等方面的问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。