结论：被裁员后打官司申请恢复劳动合同期间，您是可以找新工作的，但需根据具体情况谨慎处理，以避免可能产生的法律风险。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律层面分析
申请恢复劳动合同与求职的独立性：
- 申请恢复劳动合同是您对原裁员决定不服，通过法律途径寻求救济的行为。这一行为本身并不限制您寻找新的工作机会。
- 求职行为是您个人职业发展的选择，与申请恢复劳动合同的法律程序无直接关联。
可能存在的法律风险：
- 双重劳动关系风险：如果您在新工作中建立了劳动关系，而原劳动合同最终被恢复，您可能面临需要同时履行两份劳动合同的情况，这可能违反《劳动合同法》中关于禁止双重劳动关系的规定（除非原用人单位与新用人单位均同意，且您能够胜任两份工作）。但实践中，这种情况较为少见，且通常需要原用人单位的明确同意。
- 影响恢复劳动合同的判决：虽然求职行为本身不直接影响恢复劳动合同的判决，但如果新工作与原工作性质、岗位等存在较大差异，可能被视为您已接受裁员结果，从而影响法院对恢复劳动合同必要性的判断。不过，这种影响并非绝对，需结合具体案情分析。
二、实际操作建议
谨慎选择新工作：
- 在申请恢复劳动合同期间，如果您决定寻找新工作，应谨慎选择与原工作性质、岗位等相近或您能够胜任的工作，以减少可能产生的法律风险。
- 避免在新工作中签订长期劳动合同或投入大量精力，以免在原劳动合同恢复后产生不必要的纠纷。
与新用人单位沟通：
- 在求职过程中，您可以向新用人单位说明您正在申请恢复原劳动合同的情况，并询问其对此的看法和态度。
- 如果新用人单位表示理解并愿意等待您处理完原劳动合同事宜后再入职，这将是一个较为理想的选择。
保留相关证据：
- 在申请恢复劳动合同和求职过程中，您应保留好所有相关证据，如裁员通知、仲裁申请书、求职简历、面试记录、新工作offer等。
- 这些证据将有助于您在必要时证明自己的求职行为并未影响恢复劳动合同的判决，或在新工作产生纠纷时维护自己的合法权益。
三、特殊情况考虑
如果原劳动合同最终被恢复：
- 您需要与新用人单位协商解除劳动关系，并按照法律规定或合同约定处理相关事宜。
- 如果新用人单位不同意解除劳动关系，您可能需要通过法律途径解决纠纷，这可能会给您带来一定的时间和经济成本。
如果原劳动合同未被恢复：
- 您则可以安心在新工作中发展，无需再担心与原用人单位的劳动关系问题。
总结与建议：被裁员后打官司申请恢复劳动合同期间，您可以找新工作，但需谨慎处理，避免可能产生的法律风险。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。